《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

20. (本小题 6 分)如图,函数 $y= x^{2}-5x+6$ 的图象与 x 轴交于点 A,B(点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C.
(1) 已知一次函数的图象过 B,C 两点,求这个一次函数的解析式;
(2) 当 $0≤x≤3$ 时,对于 x 的每一个值,函数 $y= -2x+b$ (b 为常数)的值大于函数 $y= x^{2}-5x+6$ 的值,直接写出 b 的取值范围.

答案：
(1)令$y=0$，则$x^{2}-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x=2$或$x=3$。
∵点$A$在点$B$左边，
∴$B(3,0)$。
令$x=0$，则$y=6$，
∴$C(0,6)$。
设一次函数解析式为$y=kx+b$，将$B(3,0)$，$C(0,6)$代入得：
$\begin{cases}3k+b=0\\b=6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=6\end{cases}$。
∴一次函数解析式为$y=-2x+6$。
(2)由题意得$-2x+b ＞ x^{2}-5x+6$在$0\leq x\leq3$时恒成立，即$b ＞ x^{2}-3x+6$。
设$f(x)=x^{2}-3x+6$，其对称轴为$x=\frac{3}{2}$，开口向上。
在$0\leq x\leq3$时，$f(0)=6$，$f(3)=6$，$f(\frac{3}{2})=\frac{21}{4}$，$f(x)_{max}=6$。
∴$b ＞ 6$。
(1)$y=-2x+6$；
(2)$b＞6$。

21. (本小题 8 分)有这样一道题:一个二次函数的图象经过点(-1,-1),且不经过第一象限,写出满足这些条件的一个函数解析式.
小亮说:"满足条件的函数图象的对称轴一定在 y 轴的左侧."
小莹说:"满足条件的函数图象一定在 x 轴的下方."
你认同他们的说法吗?若认同,试给出证明;若不认同,请举例说明.

答案： 答：
不认同小亮和小莹的说法。
设二次函数解析式为$y = ax^{2} + bx + c$。
因为函数图象不经过第一象限，所以$a\lt0$。
又因为图象过点$(-1,-1)$，代入可得$a - b + c = -1$。
对于小亮的说法：
若对称轴$x =-\frac{b}{2a}\lt0$，在$y$轴左侧；
但当$a=-1$，$b = 1$，$c=-1$时，$y=-x^{2}+x - 1$，对称轴$x =-\frac{1}{2×(-1)}=\frac{1}{2}\gt0$，在$y$轴右侧，所以不认同小亮的说法。
对于小莹的说法：
当$a=-1$，$b = 0$，$c = 0$时，$y=-x^{2}$，图象与$x$轴有交点$(0,0)$，不都在$x$轴下方，所以不认同小莹的说法。
满足条件的一个函数解析式可以为$y=-x^{2}-2x - 2$（答案不唯一）。