《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

11. 有n个按一定规律排列的方程(n为正整数):$x^{2}+2x-8= 0$;$x^{2}+2×2x-8×2^{2}= 0$;…;$x^{2}+2nx-8n^{2}= 0$.小静解第1个方程$x^{2}+2x-8= 0$的步骤如下:①$x^{2}+2x= 8$;②$x^{2}+2x+1= 8+1$;③$(x+1)^{2}= 9$;④$x+1= \pm3$;⑤$x= 1\pm3$;⑥$x_{1}= 4$,$x_{2}= -2$.
(1) ⑤小静的解法是从步骤______开始出现错误的;(填序号)
(2) 用配方法解第n个方程$x^{2}+2nx-8n^{2}= 0$.(用含n的式子表示方程的根)

答案：
(1) ⑤
(2) 解：$x^{2}+2nx-8n^{2}=0$
移项，得$x^{2}+2nx=8n^{2}$
配方，得$x^{2}+2nx+n^{2}=8n^{2}+n^{2}$
即$(x+n)^{2}=9n^{2}$
开平方，得$x+n=\pm 3n$
解得$x=-n\pm 3n$
$\therefore x_{1}=2n$，$x_{2}=-4n$

拓展提升
已知多项式$A= 2x^{2}+3x-4$,$B= x^{2}+5x-5$.
(1) 若$A= B$,则x的值为1;
(2) 求证:$A\geq B$.

答案：
(1)
因为$A = B$，即$2x^{2}+3x - 4=x^{2}+5x - 5$，
移项可得$2x^{2}-x^{2}+3x - 5x-4 + 5 = 0$，
合并同类项得$x^{2}-2x + 1 = 0$，
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可将方程变形为$(x - 1)^{2}=0$，
解得$x = 1$。
(2)
证明：计算$A - B$，
$A - B=(2x^{2}+3x - 4)-(x^{2}+5x - 5)$
$=2x^{2}+3x - 4 - x^{2}-5x + 5$
$=x^{2}-2x + 1$
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(x - 1)^{2}\geqslant0$，所以$A - B\geqslant0$，即$A\geqslant B$。
综上，答案依次为：
(1)$1$；
(2)证明过程如上述。