《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 已知反比例函数$y_{1}= \frac{k}{x}$,$y_{2}= -\frac{k}{x}(k ＞ 0)$.
(1)当$2\leqslant x \leqslant 3$时,函数$y_{1}$的最大值是 a,函数$y_{2}的最小值是a - 4$,求 a 和 k 的值.
(2)设$m \neq 0且m \neq - 1$,当$x = m$时,$y_{1}= p$;当$x = m + 1$时,$y_{1}= q$.圆圆说:"p 一定大于 q."你认为圆圆的说法正确吗?为什么?

答案：
(1)$a=2$，$k=4$；
(2)不正确，理由见上述过程。

拓展提升
已知实数 a,b 满足$a - b= 1$,$a^{2}-ab + 2＞0$,当$1\leqslant x \leqslant 2$时,反比例函数$y= \frac{a}{x}(a \neq 0)$的最大值与最小值之差是 1,求 a 的值.

答案： 答题卡：
解：
由$a - b = 1$，得$b = a - 1$，
代入$a^{2} - ab + 2 ＞ 0$，得：
$a^{2} - a(a - 1) + 2 ＞ 0$
$a^{2} - a^{2} + a + 2 ＞ 0$
$a + 2 ＞ 0$
$a ＞ - 2$
因为当$1\leqslant x \leqslant 2$时，反比例函数$y = \frac{a}{x}(a\neq 0)$的最大值与最小值之差是$1$，
当$a ＞ 0$时，在该区间内，$y$随$x$的增大而减小，
所以$\frac{a}{1}-\frac{a}{2}=1$，
$\frac{a}{2}=1$
$a = 2$
当$-2 ＜ a ＜ 0$时，在该区间内，$y$随$x$的增大而增大，
所以$\frac{a}{2}-\frac{a}{1}=1$，
$-\frac{a}{2}=1$
$a = - 2$
又因为$a ＞ - 2$，故舍去，
综上，$a$的值为$2$。