《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 如图,四边形 ABEG、四边形 GEFH、四边形 HFCD 都是正方形.
(1) 请在图中找出一个和△AEF 相似的三角形,并说明理由;
(2) 求证:∠AFE+∠ACE= 45°.

答案：
(1) △AGF与△AEF相似。理由如下：设正方形边长为a。在正方形ABEG中，AE为对角线，AE=√(a²+a²)=a√2，∠AEB=45°；在正方形GEFH中，EF=a，GF=√(a²+a²)=a√2，∠GEF=90°，故∠AEF=∠AEB+∠BEF=45°+90°=135°。在△AGF中，AG=a，∠AGF=180°-∠HGF=180°-45°=135°（∠HGF为正方形GEFH对角线形成的45°角）。又AG/EF=a/a=1，GF/AE=a√2/a√2=1，即AG/EF=GF/AE，且∠AGF=∠AEF=135°，由SAS得△AGF∽△AEF。
(2) 由
(1)△AGF∽△AEF得∠AFE=∠GAF。在Rt△AGH中，tan∠GAF=GH/AG=a/a=1，故∠GAF=45°？不对，修正：在△AFC中，∠ACE=∠GCA，∠GAF=∠CAF，∠GAC=45°（AG=AB=a，∠BAG=90°，AC为对角线）。由tan∠AFE=1/2，tan∠ACE=1/3，tan(∠AFE+∠ACE)=(1/2+1/3)/(1-1/6)=1，故∠AFE+∠ACE=45°。
（注：实际规范步骤应避免超纲的正切公式，利用相似得∠AFE=∠GAF，∠GAF+∠ACE=∠GAC=45°，因AG=GH，∠AGC=90°，∠GAC=45°）
最终答案：
(1) △AGF，理由见解析；
(2) 证明见解析。
（严格按要求精简后）
(1) △AGF与△AEF相似。理由：设正方形边长为a。AE=√2a，EF=a，∠AEF=135°；AG=a，GF=√2a，∠AGF=135°。AG/EF=a/a=1，GF/AE=√2a/√2a=1，∠AGF=∠AEF，故△AGF∽△AEF（SAS）。
(2) 由
(1)得∠AFE=∠GAF。
∵AG=GH=HC，∠AGC=90°，
∴∠GAC=45°。又∠GAF+∠ACE=∠GAC，
∴∠AFE+∠ACE=45°。
答案：
(1) △AGF，理由见解析；
(2) 证明见解析。

如图,在△ABC 中,CA= CB,∠ACB= 90°,P 是平面内不与点 A,C 重合的任意一点,连接 AP.将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 DP,连接 AD,BD,CP.求$\frac{BD}{CP}$的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数.

答案： $\frac{BD}{CP} = \sqrt{2}$，较小角的度数为$45°$。