《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为1:2的矩形.如图,已知栅栏的总长为24 m,设较小矩形的宽为x m.当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

答案： 解：
设较小矩形平行于墙的边长为 $ x \, m $（即题目中“较小矩形的宽”），则较大矩形平行于墙的边长为 $ 2x \, m $（面积比 $ 1:2 $，高相同）。
养殖场平行于墙的总长度为 $ x + 2x = 3x \, m $，垂直于墙的边长为 $ y \, m $。
1. 栅栏总长关系：
栅栏包括外围三面（1条平行于墙的边 $ 3x $，2条垂直于墙的边 $ 2y $）和中间1条垂直于墙的分隔栅栏 $ y $，总长24 m：
$ 3x + 3y = 24 \implies y = 8 - x $
2. 面积函数：
养殖场总面积 $ S = 平行于墙的总长 × 垂直于墙的边长 $：
$ S = 3x \cdot y = 3x(8 - x) = -3x^2 + 24x $
3. 自变量取值范围：
平行于墙的长度 $ 3x \leq 10 \, m $（墙长限制），且 $ y = 8 - x ＞ 0 $：
$ 3x \leq 10 \implies x \leq \frac{10}{3} $
4. 求最大值：
$ S = -3x^2 + 24x $ 为开口向下的二次函数，对称轴 $ x = -\frac{24}{2(-3)} = 4 $。
因 $ x \leq \frac{10}{3} \approx 3.33 ＜ 4 $，函数在 $ (0, \frac{10}{3}] $ 单调递增，故当 $ x = \frac{10}{3} $ 时 $ S $ 最大。
5. 最大值计算：
$ S_{max} = 3 × \frac{10}{3} × \left(8 - \frac{10}{3}\right) = 10 × \frac{14}{3} = \frac{140}{3} \, m^2 $
结论：
当 $ x = \frac{10}{3} \, m $ 时，矩形养殖场总面积最大，最大值为 $ \frac{140}{3} \, m^2 $。
$\boxed{x = \dfrac{10}{3} \, m 时，最大值为 \dfrac{140}{3} \, m^2}$

拓展提升
如图,为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长为x m,矩形区域ABCD的面积为$y m^2.$

(1) 求y与x之间的函数解析式,并注明自变量x的取值范围.
(2) 当x为何值时,y有最大值？最大值是多少？

答案：
(1) 设BC的长为$ x \, m $，矩形ABCD的底边AB长为$ l \, m $。
由三块矩形区域面积相等，可得内部分隔线相关关系：设区域③宽为$ m $，则$ l = 3m $，区域①和②的总宽为$ 2m $，高均为$ \frac{x}{2} $。
围网总长为80 m，包括底边AB、顶边CD、右边BC、内部竖直线EF及水平分隔线GH，总长表达式为$ 2l + 2x + \frac{2l}{3} = 80 $。
化简得$ \frac{8l}{3} + 2x = 80 $，解得$ l = 30 - \frac{3}{4}x $。
矩形ABCD面积$ y = l \cdot x = \left(30 - \frac{3}{4}x\right)x = -\frac{3}{4}x^2 + 30x $。
自变量取值范围：$ l ＞ 0 $且$ x ＞ 0 $，即$ 0 ＜ x ＜ 40 $。
(2) 二次函数$ y = -\frac{3}{4}x^2 + 30x $中，$ a = -\frac{3}{4} ＜ 0 $，开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = 20 $。
当$ x = 20 $时，$ y_{max} = -\frac{3}{4}(20)^2 + 30 × 20 = 300 \, m^2 $。
(1) $ y = -\frac{3}{4}x^2 + 30x $，$ 0 ＜ x ＜ 40 $；
(2) 当$ x = 20 \, m $时，$ y $有最大值$ 300 \, m^2 $。