《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

19. (本小题 6 分)如图,在△ABC 中,已知∠C= 30°,AB= AC.
(1) 请以 CA 的延长线上一点 O 为圆心作⊙O,使⊙O 经过点 A,B;(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 在(1)的条件下,判断直线 BC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

答案：
(1) 作图痕迹：作线段AB的垂直平分线，与CA的延长线交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆（保留垂直平分线的作图痕迹及CA延长线）。
(2) 相切。理由如下：
连接OB，过点O作OD⊥BC于点D。
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°。
∵O在CA延长线上，OA=OB，
∴∠OAB=180°-∠BAC=60°，△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=OB。
设OA=r，则AB=AC=r，OC=OA+AC=2r。
在Rt△ODC中，∠C=30°，
∴OD=OC·sin30°=2r·1/2=r，即圆心O到BC的距离等于半径。
∴直线BC与⊙O相切。

20. (本小题 8 分)在⊙O 中,直径 AB= 6,BC 是弦,∠ABC= 30°,点 P 在 BC 上,点 Q 在⊙O 上,且 OP⊥PQ.
(1) 如图①,当 PQ//AB 时,求 PQ 的长;
(2) 如图②,当点 P 在 BC 上移动时,求 PQ 长的最大值.

答案：
(1) 连接OQ，
∵OP⊥PQ，
∴OQ²=OP²+PQ²，OQ=3，
∴PQ²=9-OP²。
∵PQ//AB，
∴∠OPQ=90°，内错角∠POB=∠OPQ=90°，即OP⊥OB。
在Rt△OPB中，OB=3，∠OBP=30°，
∴OP=OB·tan30°=3×(√3/3)=√3。
∴PQ=√(9-OP²)=√(9-(√3)²)=√6。
(2) PQ=√(9-OP²)，要使PQ最大，需OP最小。
点P在BC上，OP最小值为O到BC的距离d。
在△OBC中，OB=OC=3，BC=3√3，∠BOC=120°，面积S=1/2×OB×OC×sin120°=9√3/4。
又S=1/2×BC×d，即1/2×3√3×d=9√3/4，解得d=3/2。
∴PQ最大值=√(9-(3/2)²)=√(27/4)=3√3/2。
(1) √6；
(2) 3√3/2。