《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 如图,AB 为$\odot O$的弦,半径 OC,OD 分别交 AB 于点 E,F.且$\widehat {AC}= \widehat {BD}$.
(1)求证:$OE= OF$;
(2)作半径$ON\perp AB$于点 M,若$AB= 8$,$MN= 2$,求 OM 的长.

答案：
(1)见证明过程；
(2)3。

拓展提升
如图,AB 为$\odot O$的直径,C 是圆上一点,D 是$\widehat {BC}$的中点,弦$DE\perp AB$,垂足为 F.
(1)求证:$BC= 2DF$;
(2)若$AC= 6$,$BF= 2$,则 BC 的长为8.

答案：
(1)证明：连接OD，OE。
∵D是$\widehat{BC}$中点，
∴$\widehat{BD}=\widehat{DC}$，设$\widehat{BD}=\widehat{DC}=x$，则$\widehat{BC}=2x$。
∵AB为直径，$DE\perp AB$，
∴AB垂直平分DE（垂径定理），
∴$\widehat{BD}=\widehat{BE}=x$，故$\widehat{DE}=\widehat{BD}+\widehat{BE}=2x$。
∴$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，
∴弦$BC=DE$（同圆中，等弧对等弦）。
又AB垂直平分DE，
∴$DF=FE$，即$DE=2DF$，
∴$BC=2DF$。
(2)设$\odot O$半径为$r$，$BC=a$，则$DE=BC=a$，$DF=\frac{a}{2}$。
∵$BF=2$，
∴$OF=OB-BF=r-2$。
在$Rt\triangle DFO$中，$OD^2=OF^2+DF^2$，即$r^2=(r-2)^2+(\frac{a}{2})^2$，化简得$r=1+\frac{a^2}{16}$。
∵AB为直径，$\angle ACB=90°$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=6$，$AB=2r$，由勾股定理得$6^2+a^2=(2r)^2$。
将$r=1+\frac{a^2}{16}$代入，解得$a=8$（负值舍去）。
(1)证明见上；
(2)8