《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

17. 有四组一元二次方程:①$x^{2}-4x+3= 0和3x^{2}-4x+1= 0$;②$x^{2}-x-6= 0和6x^{2}+x-1= 0$;③$x^{2}-4= 0和4x^{2}-1= 0$;④$4x^{2}-13x+3= 0和3x^{2}-13x+4= 0$.这四组方程具有共同特征,我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”.请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程:$x²+x=0$.

答案： $x²+x=0$（答案不唯一）

18. 若关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}x^{2}-2mx-4m+1= 0$有两个相等的实数根,则$(m-2)^{2}-2m(m-1)$的值为$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$

19. (本小题12分)
(1) 解方程:$2(x-2)^{2}= 6-3x$.
(2) 关于x的一元二次方程$mx^{2}-x+m= 0的两根为x_{1},x_{2}$,设$y= \frac{3}{x_{1}}+\frac{3}{x_{2}}$.
① 请用含m的代数式表示y；
② 当y= 6时,求此时方程的根.

答案：
(1) 解：
原方程为 $2(x-2)^{2} = 6-3x$。
展开左侧得 $2(x^2 - 4x + 4) = 6 - 3x$。
进一步展开并整理得 $2x^2 - 8x + 8 = 6 - 3x$。
将所有项移到等式一侧得 $2x^2 - 5x + 2 = 0$。
因式分解得 $(2x - 1)(x - 2) = 0$，（或者用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$，其中$a=2,b=-5,c=2$）
解得 $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = 2$。
(2) ① 解：
由一元二次方程 $mx^2 - x + m = 0$ 的性质知，
$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}$，（根据一元二次方程根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，其中$a=m,b=-1$）
$x_1 \cdot x_2 = 1$。（$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，其中$c=m$）
则 $y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$。
通分得 $y = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 \cdot x_2}$。
代入 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \cdot x_2$ 的值得 $y = \frac{3 × \frac{1}{m}}{1} = \frac{3}{m}$，($m\ne 0$)。
② 解：
当 $y = 6$ 时，代入 $y = \frac{3}{m}$ 得 $6 = \frac{3}{m}$。
解得 $m = \frac{1}{2}$。
将 $m = \frac{1}{2}$ 代入原方程 $mx^2 - x + m = 0$ 得 $\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$。
整理得 $x^2 - 2x + 1 = 0$。
解得 $x_1 = x_2 = 1$。