《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,□ABCD的周长为8 cm,∠B= 30°.设AB= x cm,□ABCD的面积为$y cm^2,$则y与x的函数解析式为$y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$；当x=2时,y的值最大,最大值为2.

答案： $y =-\frac{1}{2}x^{2}+2x$；$2$；$2$

5. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 8 cm,BC= 6 cm.已知点P从点A处出发,沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动；点Q从点B处出发,沿边BC向点C以1 cm/s的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,当△PBQ的面积最大时,运动时间为2s.

答案： 2

6. 学校要围一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成,如图,已知墙长42 m,篱笆长80 m.设垂直于墙的边的长为x m,平行于墙的边BC的长为y m,围成的矩形花圃的面积为$S m^2.$

(1) 求y与x,S与x的关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2) 围成的矩形花圃的面积能否为$750 m^2？$若能,求出x的值.
(3) 围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在,求出这个最大值,并求出此时x的值.

答案：
(1)
根据题意，$2x + y = 80$，则$y = 80 - 2x$。
因为墙长$42m$，所以$0\lt y\leqslant42$，即$0\lt80 - 2x\leqslant42$，
解$80 - 2x\gt0$得$x\lt40$，解$80 - 2x\leqslant42$得$x\geqslant19$，
所以自变量$x$的取值范围是$19\leqslant x\lt40$。
$S = xy=x(80 - 2x)= - 2x^{2}+80x$，$19\leqslant x\lt40$。
(2)
当$S = 750$时，$-2x^{2}+80x = 750$，
即$2x^{2}-80x + 750 = 0$，$x^{2}-40x + 375 = 0$，
$(x - 15)(x - 25)=0$，
解得$x_{1}=15$（舍去，因为$15\lt19$），$x_{2}=25$。
所以能，$x$的值为$25$。
(3)
$S = - 2x^{2}+80x=-2(x - 20)^{2}+800$，
因为$a = - 2\lt0$，对称轴为$x = 20$，
又因为$19\leqslant x\lt40$，
当$x = 20$时，$S$有最大值，$S_{最大值}=800$。
所以存在，最大值为$800m^{2}$，此时$x$的值为$20$。