《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
如图①,$P(m,n)是抛物线y= \frac{x^{2}}{4}-1$上任意一点,l是过点$(0,-2)$且与x轴平行的直线,过点P作直线$PH\perp l$,垂足为H.
【探究】
(1)当$m= 0$时,$OP= $1,$PH= $1；当$m= 4$时,$OP= $5,$PH= $5.
【证明】
(2)对于任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并给出证明.
猜想：$OP = PH$。
证明：
已知$P(m,n)$在抛物线$y=\frac{x^{2}}{4}-1$上，所以$n=\frac{m^{2}}{4}-1$，即$m^{2}=4n + 4$。
根据两点间距离公式，$OP=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$。
$PH=n-(-2)=n + 2$。
将$m^{2}=4n + 4$代入$OP=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$中，得$OP=\sqrt{4n+4+n^{2}}=\sqrt{(n + 2)^{2}}=\vert n + 2\vert$。
因为对于抛物线$y=\frac{x^{2}}{4}-1$，$n\geqslant-1$，所以$n+2\geqslant1\gt0$，则$OP=n + 2$。
所以$OP = PH$。
【应用】
(3)如图②,线段$AB= 6$,端点A,B在抛物线$y= \frac{x^{2}}{4}-1$上滑动,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.
6

答案：
(1)
当$m = 0$时，$n=\frac{0^{2}}{4}-1=-1$，则$P(0, - 1)$。
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，$O(0,0)$，$P(0,-1)$，$OP=\sqrt{(0 - 0)^2+(-1 - 0)^2}=1$。
已知$l$的方程为$y = - 2$，$P$到$l$的垂直距离$PH=-1-(-2)=1$。
当$m = 4$时，$n=\frac{4^{2}}{4}-1=3$，则$P(4,3)$。
$OP=\sqrt{(4 - 0)^2+(3 - 0)^2}=\sqrt{16 + 9}=5$。
$PH=3-(-2)=5$。
故答案为：$1$；$1$；$5$；$5$。
(2)
猜想：$OP = PH$。
证明：
已知$P(m,n)$在抛物线$y=\frac{x^{2}}{4}-1$上，所以$n=\frac{m^{2}}{4}-1$，即$m^{2}=4n + 4$。
根据两点间距离公式，$OP=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$。
$PH=n-(-2)=n + 2$。
将$m^{2}=4n + 4$代入$OP=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$中，得$OP=\sqrt{4n+4+n^{2}}=\sqrt{(n + 2)^{2}}=\vert n + 2\vert$。
因为对于抛物线$y=\frac{x^{2}}{4}-1$，$n\geqslant-1$，所以$n+2\geqslant1\gt0$，则$OP=n + 2$。
所以$OP = PH$。
(3)
由
(2)知，抛物线上任意一点到直线$l$的距离等于该点到原点$O$的距离。
设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$AB = 6$。
根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\sqrt{(x_1 - x_2)^2+(y_1 - y_2)^2}=6$。
$A$，$B$两点到直线$l$的距离之和为$d=OA + OB$。
根据三角形三边关系$OA+OB\geqslant AB$，当$O$，$A$，$B$三点共线时取等号。
因为$AB = 6$，所以$d$的最小值为$6$。