《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
如图,在菱形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,BE= DF,CE 的延长线交 DA 的延长线于点 G,CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H.
(1) 求证:△BEC∽△BCH;
(2) 已知$ BE^2= AB·AE,$求证:AG= DF.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD//BC，AB//CD，∠B=∠D。
∵BE=DF，BC=CD，∠B=∠D，
∴△BEC≌△DFC(SAS)，
∴∠BCE=∠DCF。
∵AD//BC，
∴∠G=∠BCE；
∵AB//CD，
∴∠H=∠DCF，
∴∠G=∠H。
∵∠B=∠B，
∴△BEC∽△BCH(两角对应相等，两三角形相似)。
(2) 设AB=AD=a，AE=x，则BE=AB - AE=a - x。
∵BE²=AB·AE，
∴(a - x)²=ax。
∵AD//BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴AG/GB=AE/BC。
设AG=y，则GB=AG + AB=y + a，BC=a，AE=x，
∴y/(y + a)=x/a，
整理得ay=x(y + a)，即y(a - x)=ax，
∴y=ax/(a - x)。
∵(a - x)²=ax，
∴ax=(a - x)²，
∴y=(a - x)²/(a - x)=a - x。
∵BE=DF，BE=a - x，
∴AG=DF。