《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

22. (本小题6分)古巴比伦人用“长”“宽”和“面积”来代表未知数及它们的乘积,如图①,长代表a,宽代表b,长方形的面积代表ab.数学家还介绍了用几何学方式求方程的解.某实践小组学习了这种方式后,也尝试用几何学方式解方程$x^{2}+4x-5= 0(x＞0)$,并形成以下操作步骤.

第一步:将方程变形为$x^{2}+4x= 5$；
第二步:如图②,构造边长为x+2的正方形；
第三步:求得右下角正方形的面积S的值是____①____；
第四步:用两种方法表示图中大正方形的面积:
$(x+2)^{2}= x^{2}+2x+2x+S$,
将$x^{2}+4x= 5$代入,可得$(x+2)^{2}= $____②____.
∵x＞0,∴x= ____③____.
(1) 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
(2) 请参照上述方法解方程:$x^{2}+5x-14= 0(x＞0)$.

答案：
(1)①4；②9；③1
(2)方程变形为$x^{2}+5x=14$，构造边长为$x+\frac{5}{2}$的正方形，右下角小正方形面积$S=(\frac{5}{2})^{2}=\frac{25}{4}$，大正方形面积$(x+\frac{5}{2})^{2}=x^{2}+5x+S=14+\frac{25}{4}=\frac{81}{4}$，$\because x＞0$，$\therefore x+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，解得$x=2$。