《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

1. 如图,在一块斜边长为 30 cm 的直角三角形木板 ACB 上截取一个正方形 CDEF,点 D 在边 BC 上,点 E 在斜边 AB 上,点 F 在边 AC 上.若 AF:AC= 1:3,求这块木板截取正方形 CDEF 后的剩余部分的面积.

答案： 设$AC=3xcm$，因为$AF:AC = 1:3$，则$AF = xcm$，$FC=(3x - x)=2xcm$，由于$CDEF$是正方形，所以$FE = FC = 2xcm$。
设$BE=ycm$，因为$\triangle BED\sim\triangle BAC$，$\triangle AEF\sim\triangle ABC$。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 30cm$。
由$\triangle AEF\sim\triangle ABC$，可得$\frac{FE}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$，则$BC = 6xcm$。
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$(3x)^{2}+(6x)^{2}=30^{2}$，
$9x^{2}+36x^{2}=900$，
$45x^{2}=900$，
$x^{2}=20$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3x×6x = 9x^{2}=9×20 = 180cm^{2}$。
$S_{正方形CDEF}=(2x)^{2}=4x^{2}=4×20 = 80cm^{2}$。
剩余部分面积$S = S_{\triangle ABC}-S_{正方形CDEF}=180 - 80=100cm^{2}$。
综上，这块木板截取正方形$CDEF$后的剩余部分的面积为$100cm^{2}$。