《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,四边形 ABCD 为菱形,点 E 在 AC 的延长线上,∠ACD= ∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB；
(2)当 AB= 6,AC= 4 时,求 AE 的长.

答案：
(2)AE=9。

5. 如图,在△ABC 中,AB= AC,点 E 在边 BC 上移动(点 E 不与点 B,C 重合),满足∠DEF= ∠B,且点 D,F 分别在边 AB,AC 上.
(1)求证:△BDE∽△CEF；
(2)当 E 移动到 BC 的中点时,求证:FE 平分∠DFC.

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠BED+∠DEF+∠FEC=180°，∠BDE+∠B+∠BED=180°，∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠FEC．
又∠B=∠C，
∴△BDE∽△CEF（AA）．
(2)证明：
∵E为BC中点，
∴BE=EC．
由
(1)△BDE∽△CEF，得$\frac{DE}{EF}=\frac{BE}{CF}$．
∵BE=EC，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{EC}{CF}$，即$\frac{DE}{EC}=\frac{EF}{CF}$．
又∠DEF=∠C，
∴△DEF∽△ECF（SAS）．
∴∠DFE=∠CFE，即FE平分∠DFC．