《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

21. (本小题 7 分)把一根长 8 m 的绳子剪成两段,并把每一段绳子围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形面积的和等于$2m^{2}$,应该怎么剪?
(2)这两个正方形面积的和可能等于$\frac{41}{8}m^{2}$吗? 请说明理由.

答案：
(1)设其中一段绳子长为$x$米，则另一段长为$(8 - x)$米。两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}$米和$\frac{8 - x}{4}$米，面积和为$2m^2$，列方程：
$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{8 - x}{4}\right)^2 = 2$
化简得：
$\frac{x^2 + (8 - x)^2}{16} = 2 \implies x^2 + 64 - 16x + x^2 = 32 \implies 2x^2 - 16x + 32 = 0 \implies x^2 - 8x + 16 = 0$
解得$x = 4$，则另一段为$8 - 4 = 4$米。
答：从中间剪断，两段均为4米。
(2)假设面积和为$\frac{41}{8}m^2$，列方程：
$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{8 - x}{4}\right)^2 = \frac{41}{8}$
化简得：
$\frac{2x^2 - 16x + 64}{16} = \frac{41}{8} \implies 2x^2 - 16x + 64 = 82 \implies x^2 - 8x - 9 = 0$
判别式$\Delta = (-8)^2 - 4 × 1 × (-9) = 64 + 36 = 100 ＞ 0$，解得$x = \frac{8 \pm 10}{2}$，即$x = 9$或$x = -1$，均不合题意（绳子长度不能为负或超过8米）。
答：不可能。

22. (本小题 8 分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(m-3)x+2-m= 0$.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程的实数根均为非负数,求m的取值范围.

答案：
(1)
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}+(m - 3)x+2 - m=0$中，$a = 1$，$b = m - 3$，$c = 2 - m$，则$\Delta=(m - 3)^{2}-4×1×(2 - m)$
$\Delta=m^{2}-6m + 9-8 + 4m$
$\Delta=m^{2}-2m+1$
$\Delta=(m - 1)^{2}$
因为$(m - 1)^{2}\geqslant0$恒成立，所以该方程总有两个实数根。
(2)
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，对于方程$x^{2}+(m - 3)x+2 - m=0$，$a = 1$，$b = m - 3$，$\Delta=(m - 1)^{2}$
$x=\frac{-(m - 3)\pm\sqrt{(m - 1)^{2}}}{2}$
$x=\frac{-(m - 3)\pm(m - 1)}{2}$
$x_{1}=\frac{-(m - 3)+(m - 1)}{2}=\frac{-m + 3+m - 1}{2}=1$
$x_{2}=\frac{-(m - 3)-(m - 1)}{2}=\frac{-m + 3-m + 1}{2}=\frac{-2m + 4}{2}=2 - m$
因为方程的实数根均为非负数，所以$\begin{cases}2 - m\geqslant0\\1\geqslant0\end{cases}$
解$2 - m\geqslant0$得$m\leqslant2$。
所以$m$的取值范围是$m\leqslant2$。