《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

9. 已知抛物线 $y= x^{2}+bx+c$($b,c$ 为常数)的顶点为 $P(2,-1)$.
(1)求该抛物线对应的函数解析式；
(2)点 $A(t,y_{1}),B(t+1,y_{2})$ 在该抛物线上,当 $t＞2$ 时,比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；
(3)$Q(m,n)$ 为该抛物线上一点,当 $2m+n$ 取得最小值时,求点 $Q$ 的坐标.

答案：
(1)
解：
因为抛物线$y = x^{2}+bx + c$的顶点为$P(2,-1)$，设抛物线的顶点式为$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$，$(h,k)$为顶点坐标），这里$h = 2$，$k=-1$，$a = 1$，则$y=(x - 2)^{2}-1$，展开可得$y=x^{2}-4x + 3$。
(2)
解：
由
(1)知抛物线对称轴为直线$x = 2$，因为$a = 1\gt0$，所以抛物线开口向上。
当$t\gt2$时，点$A(t,y_{1})$到对称轴$x = 2$的距离为$d_{1}=t - 2$，点$B(t + 1,y_{2})$到对称轴$x = 2$的距离为$d_{2}=t+1 - 2=t - 1$。
因为$t-1\gt t - 2\gt0$，且抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，所以$y_{2}\gt y_{1}$。
(3)
解：
因为$Q(m,n)$在抛物线$y=(x - 2)^{2}-1$上，所以$n=(m - 2)^{2}-1$。
则$2m + n=2m+(m - 2)^{2}-1$
$=2m+m^{2}-4m + 4 - 1$
$=m^{2}-2m + 3$
$=(m - 1)^{2}+2$
因为$(m - 1)^{2}\geqslant0$，当$(m - 1)^{2}=0$，即$m = 1$时，$2m + n$取得最小值。
当$m = 1$时，$n=(1 - 2)^{2}-1=0$，所以点$Q$的坐标为$(1,0)$。
综上，答案依次为：
(1)$y=x^{2}-4x + 3$；
(2)$y_{2}\gt y_{1}$；
(3)$(1,0)$。

如图,抛物线 $y= mx^{2}-\frac{5}{2}mx-4$ 与 $x$ 轴交于 $A(x_{1},0),B(x_{2},0)$ 两点,且 $x_{2}-x_{1}= \frac{11}{2}$.
(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)若 $P(x_{3},y_{3}),Q(x_{4},y_{4})$ 是抛物线上的两点,当 $a≤x_{3}≤a+2$,$x_{4}≥\frac{9}{2}$ 时,均有 $y_{3}≤y_{4}$,求 $a$ 的取值范围.

答案：
(1) 对于抛物线 $ y = mx^2 - \frac{5}{2}mx - 4 $，令 $ y = 0 $，得方程 $ mx^2 - \frac{5}{2}mx - 4 = 0 $。设两根为 $ x_1, x_2 $，由韦达定理：
$ x_1 + x_2 = \frac{5}{2} $，$ x_1x_2 = -\frac{4}{m} $。
已知 $ x_2 - x_1 = \frac{11}{2} $，则 $ (x_2 - x_1)^2 = \left(\frac{11}{2}\right)^2 = \frac{121}{4} $。
又 $ (x_2 - x_1)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 $，代入得：
$ \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4\left(-\frac{4}{m}\right) = \frac{121}{4} $，即 $ \frac{25}{4} + \frac{16}{m} = \frac{121}{4} $。
解得 $ \frac{16}{m} = 24 $，$ m = \frac{2}{3} $。
故抛物线解析式为 $ y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{3}x - 4 $。
(2) 抛物线对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{4} $，开口向上。
当 $ x_4 \geq \frac{9}{2} $ 时，$ y_4 $ 随 $ x $ 增大而增大，最小值为 $ y\left(\frac{9}{2}\right) $。
计算 $ y\left(\frac{9}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}\right)^2 - \frac{5}{3}\left(\frac{9}{2}\right) - 4 = 2 $。
要使 $ y_3 \leq y_4 $，需 $ y_3 $ 在 $ [a, a+2] $ 上的最大值 $ \leq 2 $。
解方程 $ \frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{3}x - 4 = 2 $，得 $ x = -2 $ 或 $ x = \frac{9}{2} $。
因抛物线开口向上，$ y \leq 2 $ 时 $ x \in [-2, \frac{9}{2}] $。
区间 $ [a, a+2] $ 需满足 $ a \geq -2 $ 且 $ a+2 \leq \frac{9}{2} $，解得 $ -2 \leq a \leq \frac{5}{2} $。
(1) $ y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{3}x - 4 $
(2) $ -2 \leq a \leq \frac{5}{2} $