《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 把一个足球垂直水平地面向上踢,时间为$t$(单位:$s$)时该足球距离地面的高度$h$(单位:$m$)适用公式$h= 20t-5t^{2}(0≤t≤4)$.
(1)当足球距离地面的高度为$10m$时,求$t$的值；
(2)若存在实数$t_{1},t_{2}(t_{1}≠t_{2})$,当$t= t_{1}或t_{2}$时,足球距离地面的高度都为$a$(单位:$m$),求$a$的取值范围.

答案：
(1)
当$h = 10$时，$20t - 5t^{2}=10$，
$5t^{2}-20t + 10 = 0$，
$t^{2}-4t + 2 = 0$，
由求根公式$t=\frac{4\pm\sqrt{16 - 8}}{2}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}$，
因为$0\leq t\leq4$，所以$t = 2 - \sqrt{2}$或$t = 2+\sqrt{2}$。
(2)
由题意，方程$20t - 5t^{2}=a$有两个不相等的实数根，
即$5t^{2}-20t + a = 0$，
$\Delta=(-20)^{2}-4×5a＞0$，
$400 - 20a＞0$，
$20a＜400$，
解得$a＜20$。
又因为$h = 20t - 5t^{2}=-5(t - 2)^{2}+20$，且$0\leq t\leq4$，所以$0\leq a\leq20$，
结合$a＜20$，可得$0\leq a＜20$。
综上，
(1) $t$的值为$2 - \sqrt{2}$或$2+\sqrt{2}$；
(2) $a$的取值范围是$0\leq a＜20$。

拓展提升
对于一个函数,自变量$x取a$时,函数值$y也等于a$,我们称$a$为这个函数的不动点.如果二次函数$y= x^{2}+2x+c有两个相异的不动点x_{1},x_{2}$,且$x_{1}＜1＜x_{2}$,求$c$的取值范围.

答案： 根据题意，函数的不动点满足方程：
$x = x^{2} + 2x + c$，
整理得：
$x^{2} + x + c = 0$，
由题意，该方程有两个相异的实数根 $x_1$ 和 $x_2$，所以判别式 $\Delta$ 必须大于0：
$\Delta = 1^2 - 4 × 1 × c = 1 - 4c ＞ 0$，
解得：
$c ＜ \frac{1}{4}$，
又因为 $x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，根据二次函数的性质，当 $x = 1$ 时，函数值 $y = 1^2 + 1 + c = 2 + c$ 必须小于0，即：
$2 + c ＜ 0$，
解得：
$c ＜ -2$，
综合以上两个条件，得 $c$ 的取值范围为：
$c ＜ -2$。