《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 如图,在$\odot O$中,$\widehat {AC}= \widehat {BC}$,$CD\perp OA$于点 D,$CE\perp OB$于点 E.求证:$CD= CE$.

答案： 因为$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，
所以$\angle AOC = \angle BOC$。
因为$CD\perp OA$于点D，$CE\perp OB$于点E，
所以$\angle CDO=\angle CEO = 90^{\circ}$。
在$\triangle COD$和$\triangle COE$中：
$\begin{cases}\angle AOC=\angle BOC\\\angle CDO = \angle CEO\\OC = OC\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）全等判定定理，
可得$\triangle COD\cong\triangle COE$。
全等三角形的对应边相等，
所以$CD = CE$。

5. 如图,在$\odot O$中,$AB= CD$.求证:$AD= BC$.

答案： 因为$AB = CD$，根据在同圆或等圆中，等弦所对的优弧和劣弧分别相等，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。
因为$\overset{\frown}{AB}-\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}-\overset{\frown}{AC}$，所以$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$。
根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$AD = BC$。

6. 如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C,D 在半圆上,连接 CA,OD,且$AC// OD$.求证:$\widehat {CD}= \widehat {DB}$.

答案： 证明：连接OC。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA。
∵AC//OD，
∴∠OAC=∠BOD，∠OCA=∠COD。
∴∠COD=∠BOD。
∴$\widehat{CD}=\widehat{DB}$。