《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

5. 下列选项中,能使关于 x 的方程 $2x^{2}-bx+c= 0$ 一定有实数根的是(D)
A.$b＞0$
B.$b= 0$
C.$c＞0$
D.$c= 0$

答案： D

6. 若关于 x 的一元二次方程 $mx^{2}-mx-\frac{1}{4}= 0$ 有两个相等的实数根,则 m 的值为-1.

答案： -1

7. 将直线 $y= 4x-3$ 向下平移 m 个单位长度 ($m＞0$),若点 $P(a,a^{2}+2a-3)$ 在平移后的直线上,则实数 m 的取值范围是$0 ＜ m \leq 1$.

答案： $0 ＜ m \leq 1$

8. 已知关于 x 的一元二次方程 $\frac{1}{2}mx^{2}+mx+m-1= 0$ 有两个相等的实数根.
(1) 求 m 的值;
(2) 解原方程.

答案：
(1) 对于一元二次方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx+m-1=0$，其中$a = \frac{1}{2}m$，$b = m$，$c = m - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，且$a \neq 0$（即$m \neq 0$）。
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4 × \frac{1}{2}m × (m - 1) \\&= m^2 - 2m(m - 1) \\&= m^2 - 2m^2 + 2m \\&= -m^2 + 2m\end{aligned}$
令$\Delta = 0$，得$-m^2 + 2m = 0$，即$m(m - 2) = 0$，解得$m = 0$或$m = 2$。
又因$m \neq 0$，故$m = 2$。
(2) 将$m = 2$代入原方程，得：
$\frac{1}{2} × 2x^2 + 2x + 2 - 1 = 0 \implies x^2 + 2x + 1 = 0$
方程可化为$(x + 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = -1$。
(1) $m = 2$
(2) $x_1 = x_2 = -1$

9. 已知关于 x 的一元二次方程 $2x^{2}-4x+m= 0$,其中 m 为常数.
(1) 若该方程有两个相等的实数根,请求出这两个根;
(2) 若 $m+n^{2}= 1$,试判断该方程根的情况.

答案：
(1)
∵方程有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta =(-4)^2 - 4×2×m = 16 - 8m = 0$，解得$m = 2$。将$m = 2$代入原方程得$2x^2 - 4x + 2 = 0$，即$x^2 - 2x + 1 = 0$，$(x - 1)^2 = 0$，
∴$x_1 = x_2 = 1$。
(2) 由$m + n^2 = 1$得$m = 1 - n^2$。判别式$\Delta = 16 - 8m = 16 - 8(1 - n^2) = 16 - 8 + 8n^2 = 8 + 8n^2$。
∵$n^2 \geq 0$，
∴$8n^2 \geq 0$，$\Delta = 8 + 8n^2 \geq 8 ＞ 0$，
∴方程有两个不相等的实数根。