《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

如图,信号塔PQ坐落在坡度$i= 1:2$的山坡上,其正前方直立着警示牌.当太阳光线与水平线成$60°$角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN的长为$2\sqrt{5}$ m,落在警示牌上的影子MN的长为3 m,求信号塔PQ的高.(结果保留根号)

答案： 过N作水平直线，过Q作竖直直线交于点A，
∵坡度i=1:2，设QA=a，NA=2a，由勾股定理得：$a^2+(2a)^2=(2\sqrt{5})^2$，解得$a=2$，
∴QA=2m，NA=4m。
设PQ=h，过P作水平线交MN延长线于B，
∵PQ⊥山坡，MN⊥地面，
∴PB=NA=4m，∠PBM=60°。
MB=PQ+QA-MN=h+2-3=h-1。
在Rt△PBM中，tan60°=$\frac{MB}{PB}$，即$\sqrt{3}=\frac{h-1}{4}$，解得$h=4\sqrt{3}+1$。
答：信号塔PQ的高为$(4\sqrt{3}+1)$m。