《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
如图,矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'是位似图形,点 A 是位似中心.若矩形 ABCD 的周长为 24,$BB'= 4$,$DD'= 2$,求 AB 和 AD 的长.

答案：
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'是位似图形，位似中心为点A，且A与A'重合，
∴对应边成比例，相似比$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{A'D'}{AD}$。
设$AB = x$，$AD = y$，
∵矩形ABCD周长为24，
∴$2(x + y) = 24$，即$x + y = 12$。
由位似性质，$BB' = 4$，$DD' = 2$，且B'在AB延长线上，D'在AD延长线上，
∴$A'B' = AB + BB' = x + 4$，$A'D' = AD + DD' = y + 2$。
相似比$k = \frac{A'B'}{AB} = \frac{x + 4}{x}$，$k = \frac{A'D'}{AD} = \frac{y + 2}{y}$，
∴$\frac{x + 4}{x} = \frac{y + 2}{y}$，化简得$\frac{4}{x} = \frac{2}{y}$，即$x = 2y$。
联立$\begin{cases}x + y = 12 \\ x = 2y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8 \\ y = 4\end{cases}$。
AB=8，AD=4。