《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

24.(本小题 10 分)在平面直角坐标系中,二次函数 $ y= x^{2}+bx+c $ 的图象与 x 轴交于点 A(4,0),B(-1,0),交 y 轴于点 C.
(1)求二次函数的解析式；
(2)将点 C 向右平移 n 个单位长度后会再次落在该二次函数的图象上,求 n 的值；
(3)对于这个二次函数,若自变量 x 的值增加 4 时,对应的函数值 y 增大,求满足题意的自变量 x 的取值范围.

答案：
(1) 因为二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 与 x 轴交于 $ A(4,0) $，$ B(-1,0) $，设解析式为 $ y = (x - 4)(x + 1) $，展开得 $ y = x^2 - 3x - 4 $，故二次函数解析式为 $ y = x^2 - 3x - 4 $。
(2) 令 $ x = 0 $，则 $ y = -4 $，所以点 $ C(0, -4) $。向右平移 $ n $ 个单位后坐标为 $ (n, -4) $，代入解析式得 $ -4 = n^2 - 3n - 4 $，即 $ n^2 - 3n = 0 $，解得 $ n = 0 $（舍去）或 $ n = 3 $，故 $ n = 3 $。
(3) 设自变量为 $ x $，增加 4 后为 $ x + 4 $，原函数值 $ y_1 = x^2 - 3x - 4 $，新函数值 $ y_2 = (x + 4)^2 - 3(x + 4) - 4 $。计算 $ y_2 - y_1 = [(x + 4)^2 - 3(x + 4) - 4] - (x^2 - 3x - 4) = 8x + 4 $。由 $ y_2 ＞ y_1 $ 得 $ 8x + 4 ＞ 0 $，解得 $ x ＞ -\frac{1}{2} $，故自变量 $ x $ 的取值范围是 $ x ＞ -\frac{1}{2} $。