《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

4. 近视眼镜镜片的焦距y(单位:m)是镜片的度数x(单位:度)的函数,下表记录了一组数据:
|x/度|…|100|250|400|500|…|
|y/m|…|1.00|0.40|0.25|0.20|…|
(1)请写出符合表格中数据的函数解析式:$ y = \frac{100}{x} $;
(2)利用(1)中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为0.5m.

答案：
(1) 设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，$ k \neq 0 $）。
将 $ x = 100 $，$ y = 1.00 $ 代入，得 $ 1.00 = \frac{k}{100} $，解得 $ k = 100 $。
验证：当 $ x = 250 $ 时，$ y = \frac{100}{250} = 0.40 $；当 $ x = 400 $ 时，$ y = \frac{100}{400} = 0.25 $；当 $ x = 500 $ 时，$ y = \frac{100}{500} = 0.20 $，均符合表格数据。
故函数解析式为 $ y = \frac{100}{x} $。
(2) 当 $ x = 200 $ 时，$ y = \frac{100}{200} = 0.5 $。
(1) $ y = \frac{100}{x} $
(2) $ 0.5 $

5. 已知某蓄水池的排水速度v(单位$:m^3/h)$与排完水池中的水所用时间t(单位:h)之间的函数关系图象如图所示.
(1)请根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;
(2)写出此函数的解析式;
(3)如果要6h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?
(4)如果每小时排水量是$5m^3,$那么水池中的水要用多少小时排完?
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答案：
(1)根据图象，当$t=12h$时，$v=4m^3/h$，
由蓄水量等于排水速度乘以时间，可得蓄水量为：$4 × 12 = 48(m^3)$。
(2)根据反比例函数的定义，设$v=\frac{k}{t}$，
将点$(12,4)$代入$v=\frac{k}{t}$，可得：
$4=\frac{k}{12}$，
解得$k=48$，
所以此函数的解析式为$v=\frac{48}{t}$。
(3)当$t=6h$时，代入$v=\frac{48}{t}$，
可得$v=\frac{48}{6}=8(m^3/h)$。
(4)当$v=5m^3/h$时，代入$v=\frac{48}{t}$，
可得$5=\frac{48}{t}$，
解得$t=9.6(h)$。

6. 如图,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x= 6时,y= 2.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若火焰的像高为3 cm,求小孔到蜡烛的距离.
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答案：
(1)设$y$关于$x$的函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$，
将$x = 6$，$y = 2$代入，得$2=\frac{k}{6}$，解得$k = 12$，
$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。
(2)当$y = 3$时，$3=\frac{12}{x}$，解得$x = 4$，
$\therefore$小孔到蜡烛的距离为$4\space cm$。