《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 一次足球训练中,小明从球门正前方8m的A处射门,足球射向球门的路线呈抛物线(其他因素忽略不计).当足球飞行的水平距离为6m时,足球达到最高点,此时足球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1) 求抛物线的函数解析式,并通过计算判断足球能否射进球门；
(2) 对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处?

答案：
(1)
由题意可知抛物线顶点坐标为$( - 6 + 8 - 6（这里以A为坐标参考，水平方向，A在x = 8处，水平距离6m到最高点，则顶点横坐标为8 - 6 + 0（以O为原点重新理解，水平从O到A8m，飞了6m到最高点，所以顶点横坐标为 8 - (8 - 6)= 6（以O为原点，A在x=8，从A往左6m到顶点，所以顶点x = 8-2 = 6） , 3)$，即$(2,3)$（以O为原点，水平方向，A在$x = 8$处，从A往左水平距离6m到最高点，所以顶点横坐标为$8 - 6 = 2$），设抛物线解析式为$y = a(x - 2)^{2}+ 3$。
把$A(8,0)$代入$y = a(x - 2)^{2}+ 3$，得$0=a(8 - 2)^{2}+ 3$，即$36a+3 = 0$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
所以抛物线解析式为$y =-\frac{1}{12}(x - 2)^{2}+ 3=-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$。
当$x = 0$时，$y=\frac{8}{3}\approx2.67\gt2.44$，所以足球不能射进球门。
(2)
设他应该带球向正后方移动$m$米，则抛物线解析式为$y =-\frac{1}{12}(x - 2 + m)^{2}+ 3$。
把$(0,2.25)$代入$y =-\frac{1}{12}(x - 2 + m)^{2}+ 3$，得$2.25=-\frac{1}{12}(0 - 2 + m)^{2}+ 3$。
$\frac{1}{12}(m - 2)^{2}=3 - 2.25 = 0.75$，$(m - 2)^{2}=9$，$m - 2=\pm3$。
解得$m_{1}=5$，$m_{2}=-1$（舍去）。
所以他应该带球向正后方移动$1$米。