《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

11. 小敏与小霞两位同学解方程$3(x-3)= (x-3)^{2}$的过程如下.

她们的解法是否正确？如果不正确,请写出你的解答过程.

答案： 两位同学的解法均不正确。
正确解答过程如下：
移项，得$3(x - 3) - (x - 3)^2 = 0$。
提取公因式$(x - 3)$，得$(x - 3)[3 - (x - 3)] = 0$，即$(x - 3)(6 - x) = 0$。
则$x - 3 = 0$或$6 - x = 0$。
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 6$。

拓展提升
阅读下列材料,解答问题.
解方程:$(2x-5)^{2}+(3x+7)^{2}= (5x+2)^{2}$.
解:设$m= 2x-5,n= 3x+7$,则$m+n= 5x+2$,则原方程可化为$m^{2}+n^{2}= (m+n)^{2}$,所以$mn= 0$,即$(2x-5)(3x+7)= 0$,解得$x_{1}= \frac{5}{2},x_{2}= -\frac{7}{3}$.
请利用上述方法解方程:$(4x-5)^{2}+(3x-2)^{2}= (x-3)^{2}$.

答案： 设 $m = 4x - 5$，$n = 3x - 2$，
则 $m - n = (4x - 5) - (3x - 2) = x - 3$。
原方程 $(4x - 5)^{2} + (3x - 2)^{2} = (x - 3)^{2}$ 可化为：
$m^{2} + n^{2} = (m - n)^{2}$
展开并化简得：
$m^{2} + n^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2}$
进一步化简，得到：
$2mn = 0$
即：
$mn = 0$
代入 $m = 4x - 5$ 和 $n = 3x - 2$，得：
$(4x - 5)(3x - 2) = 0$
解得：
$x_{1} = \frac{5}{4}$，$x_{2} = \frac{2}{3}$