《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

三角尺是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角尺按如图方式放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB//CF,∠F= ∠ACB= 90°,∠E= 45°,∠A= 60°,AC= 10,求CD的长.

答案： 过点 $B$ 作 $BM \perp FD$ 于点 $M$。
在 $Rt \triangle ABC$ 中，
$\angle A = 60°$，$AC = 10$，
$\therefore \angle ABC = 180°-90° - 60° = 30°$，
$\therefore BC = AC \cdot \tan 60° = 10\sqrt{3}$。
$\because AB // CF$，
$\therefore \angle BCM = \angle ABC = 30°$。
$\therefore$ 在 $Rt \triangle BMC$ 中，
$BM = BC \cdot \sin 30° = 10\sqrt{3} × \frac{1}{2} = 5\sqrt{3}$，
$CM = BC \cdot \cos 30° = 10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 15$。
$\because \angle F = 90°$，$\angle E = 45°$，
$\therefore \angle EDF = 45°$。
$\therefore$ 在 $Rt \triangle BMD$ 中，
$\angle BDM = \angle EDF = 45°$，
$\therefore MD = BM = 5\sqrt{3}$，
$\therefore CD = CM - MD = 15 - 5\sqrt{3}$。
综上，$CD$的长为$15 - 5\sqrt{3}$。