《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

8. 已知抛物线 $ y= a(x-3)^2+2 $ 经过点 $ (1,-2) $.
(1) 求 $ a $ 的值;
(2) 若点 $ A(m,y_1),B(n,y_2) $ 都在该抛物线上,且 $ m＜n＜3 $,试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.

答案：
(1) 解：
因为抛物线 $y = a(x - 3)^2 + 2$ 经过点 $(1, -2)$，代入该点坐标到抛物线方程中，得：
$-2 = a(1 - 3)^2 + 2$，
$-2 = 4a + 2$，
从上式解得：
$a = -1$。
(2) 解：
由
(1)得抛物线的解析式为 $y = -(x - 3)^2 + 2$。
由于 $a = -1 ＜ 0$，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为直线 $x = 3$。
因为 $m ＜ n ＜ 3$，点 $A(m, y_1)$ 和 $B(n, y_2)$ 都位于对称轴的左侧。
由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
因为 $m ＜ n$，所以 $y_1 ＜ y_2$。

拓展提升
已知关于 $ x $ 的二次函数 $ y= \frac{1}{2}(x-m)^2-1 $,当 $ -1\leq x\leq3 $ 时,函数取得最小值 $ -2m+11 $,求 $ m $ 的值.

答案： 情况一：$ m ＜ -1 $
此时函数在$[-1, 3]$单调递增，最小值在$x=-1$处取得。
$\frac{1}{2}(-1 - m)^2 - 1 = -2m + 11$
展开化简：
$\frac{1}{2}(m^2 + 2m + 1) - 1 = -2m + 11 \implies m^2 + 6m - 23 = 0$
解得：
$m = -3 \pm 4\sqrt{2}$
因$m ＜ -1$，取$m = -3 - 4\sqrt{2}$。
情况二：$-1 \leq m \leq 3$
最小值为顶点纵坐标$-1$，则：
$-1 = -2m + 11 \implies m = 6$
$m=6$不在$[-1, 3]$，无解。
情况三：$m ＞ 3$
此时函数在$[-1, 3]$单调递减，最小值在$x=3$处取得。
$\frac{1}{2}(3 - m)^2 - 1 = -2m + 11$
展开化简：
$\frac{1}{2}(m^2 - 6m + 9) - 1 = -2m + 11 \implies m^2 - 2m - 15 = 0$
解得：
$m = 5 或 m = -3$
因$m ＞ 3$，取$m=5$。
结论
$m = 5$或$m = -3 - 4\sqrt{2}$。
$\boxed{5}$和$\boxed{-3 - 4\sqrt{2}}$