《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

10. 已知关于x的方程$x^{2}-4x+m= 9$,请你选取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解出这个方程.

答案： 取$m = 13$，方程的解为$x_{1}=x_{2}=2$

拓展提升
一位阿拉伯数学家利用正方形巧妙解出了一元二次方程$x^{2}+2x-35= 0$的一个解.他的解法大致如下:如图,将一个边长为x的正方形、一个边长为1的正方形和两个长为x、宽为1的长方形拼成一个大正方形,拼成的大正方形的面积是$x^{2}+2\cdot x\cdot 1+1×1$.而由$x^{2}+2x-35= 0变形得x^{2}+2x+1= 35+1$,即一个边长为$x+1$的正方形的面积为36,即$(x+1)^{2}= 36$,取正解得$x= 5$.你能运用上述方法构造一个正方形求解方程$x^{2}+8x-9= 0$的正根吗?

答案： 1. 方程变形：由$x^{2}+8x - 9 = 0$得$x^{2}+8x + 16 = 9 + 16$。
2. 构造图形：将一个边长为$x$的正方形、两个长为$x$宽为$4$的长方形和一个边长为$4$的正方形拼成一个大正方形，其面积为$x^{2}+2×(x×4)+4^{2}=x^{2}+8x + 16$。
3. 计算大正方形面积：由变形后方程知大正方形面积为$25$，即$(x + 4)^{2}=25$。
4. 求解：取正根，$x + 4 = 5$，得$x = 1$。
结论：方程$x^{2}+8x - 9 = 0$的正根为$1$。