《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

3. 如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点$A$,$B$,$C$都在格点上,以$AB为直径的圆经过点C$,$D$,则$\cos\angle ADC$的值为(B)

A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{3}$

答案： B

4. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90°$,$CD为边AB$上的中线,过点$A作AE \perp CD交BC于点E$.如果$AC = 2$,$BC = 4$,那么$\tan\angle CAE$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$ (若为填空题直接填数值，本题按要求若为选择则假设对应选项为选项对应关系下的答案形式，这里按题目要求格式填数值相关规范答案形式，若本题在题设环境下为填空题性质作答则答案为$\frac{1}{2}$ )

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90°$,$\tan A = \frac{1}{2}$,$D是边AC$上一点,$\angle CBD = \angle A$,求$\cos\angle CDB$的值.

答案： 设$BC = x$，
因为$\tan A = \frac{1}{2}$，
根据正切函数的定义$\tan A=\frac{BC}{AC}$，
所以$AC = 2x$。
因为$\angle CBD = \angle A$，
所以$\tan\angle CBD=\tan A = \frac{1}{2}$，
在$Rt\triangle BCD$中，根据正切函数的定义$\tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}$，
即$\frac{CD}{x}=\frac{1}{2}$，
所以$CD=\frac{1}{2}x$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BD = \sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\frac{1}{2}x)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$。
根据余弦函数的定义$\cos\angle CDB=\frac{CD}{BD}$，
把$CD = \frac{1}{2}x$，$BD=\frac{\sqrt{5}}{2}x$代入可得：
$\cos\angle CDB=\frac{\frac{1}{2}x}{\frac{\sqrt{5}}{2}x}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，$\cos\angle CDB$的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。