《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

拓展提升
如图,在△ABC 中,A,B 两个顶点在 x 轴的上方,点 C 的坐标是(-1,0).以点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍,记所得图形为△A'B'C.设点 B 的对应点 B'的横坐标是a,求点 B 的横坐标.

答案： 设点$ B $的横坐标为$ x $，位似中心$ C(-1,0) $，点$ B' $的横坐标为$ a $。
由位似性质，位似中心$ C $、点$ B $、点$ B' $共线，且相似比为$ 2 $（放大到原来的$ 2 $倍）。因$ \triangle ABC $在$ x $轴上方，$ \triangle A'B'C $在$ x $轴下方，故$ B $与$ B' $在$ C $两侧，向量$ \overrightarrow{CB'} = -2\overrightarrow{CB} $。
向量$ \overrightarrow{CB} = (x - (-1), y - 0) = (x + 1, y) $，向量$ \overrightarrow{CB'} = (a - (-1), b - 0) = (a + 1, b) $（$ b ＜ 0 $）。
由$ \overrightarrow{CB'} = -2\overrightarrow{CB} $，得：
$ a + 1 = -2(x + 1) $
解得：
$ -2(x + 1) = a + 1 $
$ -2x - 2 = a + 1 $
$ -2x = a + 3 $
$ x = \frac{-a - 3}{2} $
点$ B $的横坐标为$ \frac{-a - 3}{2} $。
$\boxed{\dfrac{-a - 3}{2}}$