《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

23. (本小题 8 分)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》记载,形如$x^{2}+ax= b^{2}的方程的图解法是作Rt\triangle ABC$,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$BC= \frac{a}{2}$,$AC= b$,再在斜边AB上截取$BD= \frac{a}{2}$,如图所示.该方程的一个正根可以用图中的一条线段长表示,请找出这条线段,并说明理由.

答案： 这条线段是$AD$。

24. (本小题 8 分)为提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出.根据市场调查,这种电子产品销售单价定为 200 元时,每天可售出 300 个;若销售单价每降低 1 元,每天可多售出 5 个.已知每个电子产品的固定成本为 100 元,这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利 32000 元?

答案： 设降价后的销售单价为$x$元。
根据题意，单价降低了$(200 - x)$元，每天多售出$5(200 - x)$个，销售量为$300 + 5(200 - x)$个，单个利润为$(x - 100)$元。
总利润公式：单个利润×销售量=总利润，列方程得：
$(x - 100)[300 + 5(200 - x)] = 32000$
化简销售量：$300 + 5(200 - x) = 1300 - 5x$，方程变为：
$(x - 100)(1300 - 5x) = 32000$
展开并整理：
$(x - 100)(1300 - 5x) = -5x^2 + 1800x - 130000 = 32000$
$-5x^2 + 1800x - 162000 = 0$
两边同除以$-5$：
$x^2 - 360x + 32400 = 0$
因式分解：$(x - 180)^2 = 0$，解得$x = 180$。
检验：$x = 180$时，销售量为$300 + 5(200 - 180) = 400$个，单个利润$180 - 100 = 80$元，总利润$80×400 = 32000$元，符合题意。
答：降价后的销售单价为$180$元。