《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

21. (本小题8分)在平面直角坐标系中,已知A是直线$y= \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$上一点,过点A分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为B和C,反比例函数$y= \frac{k}{x}$的图象经过点A.
(1)若A是第一象限内的点,且AB= AC,求k的值;
(2)当AB＞AC时,直接写出k的取值范围.

答案：
(1)$ 9 $；
(2)$ -1＜k＜0 $或$ 0＜k＜9 $。

22. (本小题10分)某工艺品厂生产一种汽车装饰品,每件生产成本为20元,销售价格为30～80元/件(含30元/件和80元/件),销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用(不含生产成本)总计50万元,其销售量y(单位:万件)与销售价格x(单位:元/件)的函数关系如图.
(1)当30≤x≤60时,求y与x的函数解析式;
(2)求出该厂生产销售这种汽车装饰品的纯利润w(单位:万元)与销售价格x(单位:元/件)的函数解析式;
(3)这种汽车装饰品的销售价格定为多少元/件时,获得的纯利润最大,最大纯利润是多少?

答案：
(1) 当 $30 \leq x \leq 60$ 时，由图象知，函数为线段，设函数解析式为 $y = kx + b$。
取点 $(30, 5)$ 和 $(60, \frac{120}{60} = 2)$（或取图上其他已知点），代入解析式得：
$\begin{cases}30k + b = 5, \\60k + b = 2.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -0.1, \\b = 8.\end{cases}$
所以，当 $30 \leq x \leq 60$ 时，$y = -0.1x + 8$。
(2) 纯利润 $w$ 的计算：
当 $30 \leq x \leq 60$ 时，
$w = (x - 20) × y - 50 = (x - 20) × (-0.1x + 8) - 50 = -0.1x^2 + 10x - 210$。
当 $60 ＜ x \leq 80$ 时，
$w = (x - 20) × y - 50 = (x - 20) × \frac{120}{x} - 50 = -\frac{2400}{x} + 70$。
所以，$w$ 的解析式为：
$w =\begin{cases}-0.1x^2 + 10x - 210,30 \leq x \leq 60, \\-\frac{2400}{x} + 70, 60 ＜ x \leq 80.\end{cases}$
(3) 当 $30 \leq x \leq 60$ 时，
$w = -0.1x^2 + 10x - 210 = -0.1(x - 50)^2 + 40$。
由二次函数的性质，当 $x = 50$ 时，$w$ 取得最大值 $40$ 万元。
当 $60 ＜ x \leq 80$ 时，
$w = -\frac{2400}{x} + 70$。
由于 $-\frac{2400}{x}$ 随 $x$ 的增大而增大，所以 $w$ 随 $x$ 的增大而增大。
当 $x = 80$ 时，$w$ 取得最大值 $40$ 万元（$-\frac{2400}{80} + 70 = 40$）。
综上，当销售价格定为 $50$ 元/件或 $80$ 元/件时，获得的纯利润最大，最大纯利润是 $40$ 万元（由于两个区间最大值相同，故统一表述）。