《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

9. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 $ y= \frac{k}{x} $ 的图象过点 A(2,3).
(1) 求 k 的值;
(2) 过点 $ P(m,0)(m≠0) $ 作 x 轴的垂线,分别交反比例函数 $ y= \frac{k}{x},y= -\frac{4}{x} $ 的图象于点 M,N.
① 当 $ m= -2 $ 时,求 MN 的长;
② 若 $ MN≥5 $,直接写出 m 的取值范围.

答案：
(1)把点$A(2,3)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{2}$，解得$k = 6$。
(2)①当$m = - 2$时，对于$y=\frac{6}{x}$，$x=-2$，则$y=\frac{6}{-2}=-3$，即$M(-2,-3)$；
对于$y = -\frac{4}{x}$，$x = - 2$，则$y=-\frac{4}{-2}=2$，即$N(-2,2)$。
所以$MN=\vert2-(-3)\vert = 5$。
②因为过点$P(m,0)(m\neq0)$作$x$轴的垂线，分别交反比例函数$y = \frac{6}{x}$，$y = -\frac{4}{x}$的图象于点$M$，$N$，则$M(m,\frac{6}{m})$，$N(m,-\frac{4}{m})$。
所以$MN=\vert\frac{6}{m}-(-\frac{4}{m})\vert=\vert\frac{10}{m}\vert$。
因为$MN\geq5$，即$\vert\frac{10}{m}\vert\geq5$，
则$\frac{10}{\vert m\vert}\geq5$，
$\vert m\vert\leq2$且$m\neq0$，
解得$0＜\vert m\vert\leq2$，
即$m$的取值范围是$0 ＜ m\leq2$或$-2\leq m＜0$。
综上，答案依次为：
(1)$k = 6$；
(2)①$5$；②$0 ＜ m\leq2$或$-2\leq m＜0$。

拓展提升
如图,在平面直角坐标系中,A(6,m)是直线 $ y= \frac{1}{3}x $ 与双曲线 $ y= \frac{k}{x} $ 的一个交点.
(1) 求 k 的值;
(2) 求点 A 关于直线 $ y= x $ 的对称点 B 的坐标,并说明点 B 在双曲线 $ y= \frac{k}{x} $ 上.

答案：
(1) 因为点A(6,m)在直线$y=\frac{1}{3}x$上，所以$m=\frac{1}{3}×6=2$，则A(6,2)。又因为点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，所以$2=\frac{k}{6}$，解得$k=12$。
(2) 点A(6,2)关于直线$y=x$的对称点B的坐标为(2,6)。将x=2代入双曲线$y=\frac{12}{x}$，得$y=\frac{12}{2}=6$，所以点B(2,6)在双曲线上。