《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

22.(本小题 8 分)某超市的某种商品的进价为每件 60 元,现在的售价为每件 100 元,每天可售出 8 至 30 件. 据调查,降价活动期间,如果每降价 1 元,那么该商品每天可多售出 10 件.
(1)降价活动期间,设每件商品的降价金额为 x 元.
① 用含 x 的式子表示该商品每天多售出的件数；
② 请用一个数学表达式描述：该超市出售该商品每天所得利润与降价金额的关系.(不需要写出 x 的取值范围)
(2)该超市的一位员工认为：只要高于进价,每天降价促销的利润都会比不降价的时候更大. 就该商品而言,你认为这位员工的说法是否正确？若正确,请说明理由；若错误,请举出一个反例.

答案：
(1)① 10x
② 设每天所得利润为y元，则y=(100 - x - 60)(30 + 10x)，即y=(40 - x)(30 + 10x)
(2)错误。反例：当x=38时，售价为100 - 38=62元（高于进价60元），此时利润y=(40 - 38)(30 + 10×38)=2×410=820元；不降价时利润为(100 - 60)×30=1200元，820＜1200，故该员工说法错误。

23.(本小题 8 分)在平面直角坐标系中,抛物线 $ y= ax^{2}+bx+1 $ 经过点(2,1).
(1)试用含 a 的式子表示 b；
(2)若该抛物线经过 M(-2,m),N(1,n),P(3,p)三点.
① 判断：(m-1)(n-1)______0(填“＞”“＜”或“=”)；
② 若 M,N,P 三点中恰有两个点在 x 轴上方,求 a 的取值范围.
(1) b = -2a
(2) ① ＜ ② $-\frac{1}{3} ＜ a \leq -\frac{1}{8}$或$a \geq 1$

答案：
(1) 将点(2,1)代入抛物线方程$y = ax^2 + bx + 1$，得：
$1 = a(2)^2 + b(2) + 1$，化简得$4a + 2b = 0$，解得$b = -2a$。
(2) 抛物线方程为$y = ax^2 - 2ax + 1$。
① 当$x = -2$时，$m = a(-2)^2 - 2a(-2) + 1 = 8a + 1$，则$m - 1 = 8a$；
当$x = 1$时，$n = a(1)^2 - 2a(1) + 1 = -a + 1$，则$n - 1 = -a$；
$(m - 1)(n - 1) = (8a)(-a) = -8a^2$，因为$a \neq 0$，所以$-8a^2 ＜ 0$。
② 当$x = 3$时，$p = a(3)^2 - 2a(3) + 1 = 3a + 1$。
分两种情况：
若$m ＞ 0$，$n \leq 0$，$p ＞ 0$，则$\begin{cases}8a + 1 ＞ 0 \\ -a + 1 \leq 0 \\ 3a + 1 ＞ 0\end{cases}$，解得$a \geq 1$；
若$m \leq 0$，$n ＞ 0$，$p ＞ 0$，则$\begin{cases}8a + 1 \leq 0 \\ -a + 1 ＞ 0 \\ 3a + 1 ＞ 0\end{cases}$，解得$-\frac{1}{3} ＜ a \leq -\frac{1}{8}$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{3} ＜ a \leq -\frac{1}{8}$或$a \geq 1$。
(1) $b = -2a$
(2) ① $＜$ ② $-\frac{1}{3} ＜ a \leq -\frac{1}{8}$或$a \geq 1$