《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

7. 若$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-3x-5= 0$的两个实数根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是14.

答案： 14

8. 若m,n是关于x的一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$的两个实数根,则$m+(n-2)^{2}$的值是7.

答案： 7

9. 已知$x_{1},x_{2}$是关于x的一元二次方程$x^{2}-3x-1= 0$的两根,不解方程求下列各式的值.
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$;
(2)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$;
(3)$|x_{1}-x_{2}|$.

答案： 由一元二次方程 $x^{2}-3x-1=0$，根据根与系数关系得：
$x_{1} + x_{2} = 3$，$x_{1}x_{2} = - 1$
(1) $x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2}$
$=x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})$
$=-1×3$
$=-3$
(2) $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$
$=\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}$
$=\frac{(x_{1} + x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
$=\frac{3^{2}-2×(-1)}{-1}$
$=\frac{9 + 2}{-1}$
$=-11$
(3) $|x_{1}-x_{2}|$
$=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}}$
$=\sqrt{(x_{1} + x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$
$=\sqrt{3^{2}-4×(-1)}$
$=\sqrt{9 + 4}$
$=\sqrt{13}$

10. 已知关于x的方程$x^{2}-px+1= 0$(p为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}和x_{2}$.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$p,$x_{1}x_{2}=$1;
(2)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 2p+1$,求p的值.
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，所以$p^{2}-2×1=2p + 1$，即$p^{2}-2p-3 = 0$。
因式分解得$(p - 3)(p+1)=0$，则$p - 3 = 0$或$p + 1 = 0$，解得$p = 3$或$p=-1$。
又因为方程$x^{2}-px + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以$\Delta=p^{2}-4×1×1＞0$，即$p^{2}＞4$。
当$p = 3$时，$3^{2}=9＞4$，符合题意；当$p=-1$时，$(-1)^{2}=1＜4$，不符合题意，舍去。
所以$p$的值为$3$。

答案：
(1)
$x_{1} + x_{2} = p$；
$x_{1}x_{2} = 1$。
(2)
因为$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，且$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，所以$p^{2}-2×1=2p + 1$，即$p^{2}-2p-3 = 0$。
因式分解得$(p - 3)(p+1)=0$，则$p - 3 = 0$或$p + 1 = 0$，解得$p = 3$或$p=-1$。
又因为方程$x^{2}-px + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以$\Delta=p^{2}-4×1×1＞0$，即$p^{2}＞4$。
当$p = 3$时，$3^{2}=9＞4$，符合题意；当$p=-1$时，$(-1)^{2}=1＜4$，不符合题意，舍去。
所以$p$的值为$3$。