《2025年自我提升与评价九年级数学上册人教版》

23. (本小题 12 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,$\widehat{BC}= \widehat{BD}$,DE⊥AC 于点 E,直线 DE 交 BF 于点 F,交 AB 于点 G,∠BOD= 2∠F,连接 BD.
(1) 求证:BF 是⊙O 的切线;
(2) 判断△DGB 的形状,并说明理由;
(3) 当 BD= 2 时,求 FG 的长.

答案：
(1) 证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠BAC=∠BAD=α，∠BOD=2∠BAD=2α。
∵∠BOD=2∠F，
∴∠F=α。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AGE=90°-α。
∵∠AGE=∠BGF，
∴∠BGF=90°-α。在△BGF中，∠GBF=180°-∠F-∠BGF=180°-α-(90°-α)=90°，
∴OB⊥BF。
∵OB是⊙O半径，
∴BF是⊙O的切线。
(2) △DGB是等腰三角形。理由：
∵∠ADB=90°，∠BAD=α，
∴∠DBG=90°-α。
∵∠DGB=∠BGF=90°-α，
∴∠DBG=∠DGB，
∴DG=DB，
∴△DGB是等腰三角形。
(3)
∵BD=2，DG=DB=2。由
(1)知∠F=α，∠BOD=2α，OD=OB=半径r。
∵∠ADB=90°，BD=2，AB=2r，
∴sinα=BD/AB=2/(2r)=1/r。
∵∠BOD=2α，在Rt△OBF中，∠OBF=90°，∠F=α，tanα=OB/BF=r/BF，sinα=OB/OF=r/OF。
∵∠BOD=2α，OD=OB=r，△OBD中，BD²=OB²+OD²-2OB·ODcos2α=2r²(1-cos2α)=4r²sin²α，
∴BD=2rsinα=2，即2r·(1/r)=2，成立。
∴sinα=1/2，α=30°，r=2。
∴AB=4，OB=2。在Rt△OBF中，∠F=30°，OB=2，
∴OF=2OB=4。
∵G与O重合（AB中点），
∴FG=OF=4。
FG=4。