《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 在$ Rt\triangle ABC$和$ Rt\triangle DEF$中，$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$BC = 8$，$DE = 5$，$EF = 3$，则这两个直角三角形(B).

A.不一定相似
B.相似
C.不相似
D.全等

答案： 1.B

2. (教材第84页练习第1题变式)如图5，在$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$上的高$CE$，$BF$相交于点$D$，则图中共有相似三角形(D).

A.$2$对
B.$4$对
C.$5$对
D.$6$对

答案： 2.D　提示:△BAF∽△BDE∽△CDF∽△CAE.

3. 如图6，在矩形$ABCD$中，$AB = 2$，$BC = 1$，点$P$在$DC$边上.当$AP =$$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，$\triangle ADP\backsim\triangle ABC$.

答案： 3.$\frac{\sqrt{5}}{2}$

4. 如果一个直角三角形的两条边长分别是$6$和$8$，另一个与它相似的直角三角形的三条边长分别是$3$，$4$和$x$，那么$x$的值是5或$\sqrt{7}$.

答案： 4.5或$\sqrt{7}$　提示:当两个三角形的两条直角边分别为6和8,3和4时，则x = $\sqrt{3² + 4²}$ = 5.当两个三角形的斜边长分别为8,4时，x = $\sqrt{4² - 3²}$ = $\sqrt{7}$

5. 如图7，网格中的每个小正方形的边长都是$1$，$\triangle ACB$和$\triangle DCE$的顶点都在小正方形的格点上，$ED$的延长线交$AB$于点$F$.
（1）求证：$\triangle ACB\backsim\triangle DCE$.
（2）求证：$EF\perp AB$.

答案： 5.证明:
(1)
∵　$\frac{AC}{DC}$ = $\frac{3}{2}$,$\frac{BC}{EC}$ = $\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$,
∴　$\frac{AC}{DC}$ = $\frac{BC}{EC}$.又∠ACB = ∠DCE = 90°,
∴　△ACB∽△DCE.
(2)
∵　△ACB∽△DCE,
∴　∠ABC = ∠DEC.又∠ABC + ∠A = 90°,
∴　∠DEC + ∠A = 90°.
∴　∠EFA = 90°.
∴　EF⊥AB.

6. 如图8，$M$是$ Rt\triangle ABC$的斜边$BC$上异于$B$，$C$的定点.过点$M$作直线与$\triangle ABC$的直角边相交，使截得的三角形与$\triangle ABC$相似，则这样的直线共有(C).

A.$1$条
B.$2$条
C.$3$条
D.$4$条

答案：
6.C　提示:如图29,过点M作AB的平行线MD₁,或作BC的垂线MD₂,或作AC的平行线MD₃,所得三角形均满足题意.

7. （教材第84页练习第2、第4题变式）探究与证明
【知识背景】我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理.
【探究分析】如图9，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的高.求证：$AB^{2} = BC^{2} + AC^{2}$.（用相似形知识证明）

答案： 7.证明:
∵　∠B = ∠B,∠ACB = ∠CDB = 90°,
∴　△ACB∽△CDB.
∴　$\frac{BC}{BD}$ = $\frac{AB}{CB}$,即BC² = AB · BD①.
∵　∠A = ∠A,∠ACB = ∠ADC = 90°,
∴　△ACB∽△ADC,
∴　$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AC}{AD}$,即AC² = AB · AD②.① + ②,得BC² + AC² = AB · BD + AB · AD = AB · (BD + AD) = AB².
∴　AB² = BC² + AC².