《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

答案： 垂直

1. 如图 1，OA 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙O 于点 C，∠P = 36°，则∠OAP 的度数是(D)。



A.18°
B.36°
C.54°
D.90°

答案： 1.D

2. 如图 2，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，过点 A 作⊙O 的切线 AD。如果∠BAC = 55°，那么∠DAC 的度数是35°。

答案： 2.35°

3. (2022 湖南怀化中考)如图 3，AB 与⊙O 相切于点 C，AO = 3，⊙O 的半径为 2，则 AC 的长为$\sqrt{5}$。

答案： 3.$\sqrt{5}$

例 如图 4，已知 AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，CD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，∠ACD = 120°。求证：CA = CD。
思路点拨

CD切⊙O于点C→∠1=90°→∠2=30°
∠ACD=120°
OA=OC→∠A=∠2
CA=CD←∠D=180°−∠ACD−∠A=30°←∠A=30°
证明
∵ CD 切⊙O 于点 C，
∴ ∠1 = 90°。
∵ ∠ACD = 120°，∴ ∠2 = ∠ACD − ∠1 = 120° − 90° = 30°。
∵ OA = OC，∴ ∠A = ∠2 = 30°。
∴ ∠D = 180° − ∠ACD − ∠A = 180° − 120° − 30° = 30°。
∴ ∠D = ∠A。∴ CA = CD。

答案： 证明：
∵ CD 切⊙O 于点 C，
∴ OC⊥CD（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径），即∠OCD=90°。
∵ ∠ACD=120°，
∴ ∠ACO=∠ACD - ∠OCD=120° - 90°=30°。
∵ OA=OC（同圆的半径相等），
∴ ∠A=∠ACO=30°（等边对等角）。
在△ACD 中，∠D=180° - ∠A - ∠ACD=180° - 30° - 120°=30°。
∴ ∠A=∠D。
∴ CA=CD（等角对等边）。

1. (2022 湖南长沙中考)如图 5，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，若∠AOB = 128°，则∠P 的度数为(B)。

A.32°
B.52°
C.64°
D.72°

答案： 1.B

2. (2024 山西中考)如图 6，已知△ABC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，与 AC 相切于点 A，连接 OD。若∠AOD = 80°，则∠C 的度数为(D)。


A.30°
B.40°
C.45°
D.50°

答案： 2.D