《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

3. 如图 12，在 $ \triangle ABC $ 中， $ \angle ACB = 90° $， $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，过点 $ D $ 作 $ DE \perp AC $，过点 $ D $ 作 $ DF \perp BC $。
(1) 求证： $ AC^2 = AD · AB $。
(2) 求证： $ \frac{AC^3}{BC^3} = \frac{AE}{BF} $。

答案： 3.证明：
(1)
∵ ∠ACB = 90°, CD ⊥ AB,
∴ ∠A +
∠ACD = ∠A + ∠B = 90°.
∴ ∠ACD = ∠B.
∴ △ACD ∼
△ABC.
∴$ \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC} ,$即$ AC^2 = AD · AB. (2)$同
(1)可证
得, △BCD ∼ △BAC, △ADE ∼ △ACD, △BDF ∼ △BCD.
∴$ BC^2 = BD · AB, AD^2 = AE · AC, BD^2 = BF · BC.$由