《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

6. 对于二次函数 $ y = -2(x - h)^2 $($ h $ 为常数)，当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ h $ 的取值范围是$h\leq2$。
7. (教材第 16 页练习第 5 题变式)已知抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 的形状与抛物线 $ y = -3x^2 $ 相同，但开口方向相反，对称轴与 $ x $ 轴交于负半轴，且抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A(0, 12) $。
(1)求抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 对应的函数表达式和顶点坐标。
(2)直线 $ y = 12 $ 与抛物线 $ y = a(x + h)^2 $ 相交于 $ A $，$ B $ 两点，求线段 $ AB $ 的长度。

答案： 6.$h\leq2$ 提示：抛物线$y=-2(x-h)^2$开口向下，在对称轴$x=h$的右侧是下降的.又当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而减小，所以直线$x=2$在对称轴$x=h$右侧或与对称轴$x=h$重合.故$h\leq2$.
7.解：
(1)因为抛物线$y=a(x+h)^2$的形状与抛物线$y=-3x^2$相同，但开口方向相反，所以$a=-(-3)=3$.将$(0,12)$代入$y=3(x+h)^2$，得$12=3h^2$.又$y=a(x+h)^2$的对称轴与$x$轴交于负半轴，所以$h＞0$.解得$h=2$.所以抛物线$y=a(x+h)^2$对应的函数表达式为$y=3(x+2)^2$，顶点坐标为$(-2,0)$.
(2)抛物线$y=3(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，则$A$，$B$两点关于直线$x=-2$对称.又点$A$到直线$x=-2$的距离为2，所以线段$AB$的长为4.

8. 如图 4，抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 的顶点为 $ A $，与 $ y $ 轴的负半轴交于点 $ B $，且 $ OB = OA $。
（1）求抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 对应的函数表达式。
（2）已知点 $ C(-3, b) $ 在此抛物线上，求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：
8.解：
(1)因为抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$A$，所以$A(-1,0)$.因为$OB=OA$，点$B$在$y$轴负半轴上，所以$B(0,-1)$.因为抛物线$y=a(x+1)^2$经过点$B$，所以$a(0+1)^2=-1$.解得$a=-1$.所以抛物线$y=a(x+1)^2$对应的函数表达式是$y=-(x+1)^2$.
(2)如图7，过点$C$作$CD\perp x$轴于点$D$.在$y=-(x+1)^2$中，当$x=-3$时，$y=-4$，故$C(-3,-4)$.所以$CD=4$，$OD=3$.故$AD=3-1=2$.又$OA=OB=1$，所以$S_{\triangle ABC}=S_{梯形OBCD}-S_{\triangle ACD}-S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×3×(4+1)-\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×1×1=3$.