《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 1 反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 图象的一个分支在平面直角坐标系中的位置如图 1。
（1）图象的另一分支在第四象限，在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
（2）常数 $ m $ 的取值范围是m ＜ 2。
（3）已知此反比例函数的图象经过点 $ (-2, 3) $，求 $ m $ 的值。点 $ A(-5, 2) $ 是否在这个函数的图象上？点 $ B(-3, 4) $ 呢？

思路点拨
解 （1）因为反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 图象的一个分支在第二象限，又反比例函数图象关于原点成中心对称，所以图象的另一分支在第四象限。
观察图象知，在每个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
（2）由（1）知，反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 的图象位于第二、四象限，所以 $ m - 2 ＜ 0 $。解得 $ m ＜ 2 $。
所以常数 $ m $ 的取值范围是 $ m ＜ 2 $。
（3）因为反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 图象经过点 $ (-2, 3) $，所以 $ \frac{m - 2}{-2} = 3 $。解得 $ m = -4 $。
所以此反比例函数表达式为 $ y = -\frac{6}{x} $。
因为 $ -5×2 = -10 \neq -6 $，$ -3×4 = -12 \neq -6 $，所以点 $ A(-5, 2) $，$ B(-3, 4) $ 均不在函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象上。

答案： 例 1（1）四；增大（2）m ＜ 2（3）因为反比例函数 $ y = \frac{m - 2}{x} $ 图象经过点 $ (-2, 3) $，所以 $ \frac{m - 2}{-2} = 3 $。解得 $ m = -4 $。所以此反比例函数表达式为 $ y = -\frac{6}{x} $。因为 $ -5×2 = -10 \neq -6 $，$ -3×4 = -12 \neq -6 $，所以点 $ A(-5, 2) $，$ B(-3, 4) $ 均不在函数 $ y = -\frac{6}{x} $ 的图象上。

例 2 如图 5，两个反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 和 $ y = \frac{3}{x} $ 在第一象限内的图象依次是 $ C_1 $ 和 $ C_2 $。设点 $ P $ 在 $ C_1 $ 上，$ PC \perp x $ 轴于点 $ C $，交 $ C_2 $ 于点 $ A $；$ PD \perp y $ 轴于点 $ D $，交 $ C_2 $ 于点 $ B $。若四边形 $ PAOB $ 的面积为 5，则 $ k =$8$$ 。
思路点拨

解 $ \because $ 点 $ P $ 在函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上，$ PC \perp x $ 轴，$ PD \perp y $ 轴，
$ \therefore S_{矩形 PCOD} = k $。
$ \because $ 点 $ A $，$ B $ 在函数 $ y = \frac{3}{x} $ 图象上，$ AC \perp x $ 轴，$ BD \perp y $ 轴，
$ \therefore S_{\triangle AOC} = S_{\triangle BOD} = \frac{1}{2}×3 = \frac{3}{2} $。
根据题图可得，$ S_{四边形 PAOB} = S_{矩形 PCOD} - S_{\triangle AOC} - S_{\triangle BOD} $，即 $ k - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 5 $。解得 $ k = 8 $。
答案 8

答案： 例 2 8