《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例 2 小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 $ 6 $ 元，当销售单价定为 $ 8 $ 元时，每天可以销售 $ 200 $ 件。市场调查反映：这种纪念品的销售单价每提高 $ 1 $ 元，日销售量将会减少 $ 10 $ 件。物价部门规定：这种纪念品的销售单价不能超过 $ 12 $ 元。设这种纪念品的销售单价为 $ x $（元），日销售量为 $ y $（件），日销售利润为 $ w $（元）。
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式。
（2）要使这种纪念品的日销售利润为 $ 720 $ 元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润 $ w $（元）与销售单价 $ x $（元）之间的函数表达式，当 $ x $ 为何值时，这种纪念品的日销售利润最大，并求出最大利润。
思路点拨

（1）当 $ x = 8 $ 时，$ y = 200 $ → 在此基础上 $ x $ 每提高 $ 1 $，$ y $ 就相应减少 $ 10 $ → 确定 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式
（2）$ 720 $ 元 → 用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ → $ ( x - 6 ) $ → 日销售利润 $ = $ 日销售量 $ × $ 每件利润
（3）$ w = y ( x - 6 ) $ → 用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ → $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式 → 配方成顶点式 → 结合函数性质与自变量 $ x $ 的取值范围，得 $ w $ 的最大值
解 （1）由题意，得 $ y = 200 - 10 ( x - 8 ) = - 10 x + 280 $。
故 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为 $ y = - 10 x + 280 ( 6 \leq x \leq 12 ) $。
（2）根据题意，得 $ ( x - 6 ) ( - 10 x + 280 ) = 720 $。解得 $ x _ { 1 } = 10 $，$ x _ { 2 } = 24 $。
又 $ 6 \leq x \leq 12 $，$ \therefore x = 10 $。
答：要使这种纪念品的日销售利润为 $ 720 $ 元，销售单价应定为 $ 10 $ 元。
（3）根据题意，得 $ w = ( x - 6 ) ( - 10 x + 280 ) = - 10 ( x - 17 ) ^ { 2 } + 1210 $。
$ \because - 10 ＜ 0 $，$ \therefore $ 当 $ x ＜ 17 $ 时，$ w $ 随 $ x $ 的增大而增大。
又 $ 6 \leq x \leq 12 $，
$ \therefore $ 当 $ x = 12 $ 时，$ w $ 取得最大值，最大值为 $ - 10 ( 12 - 17 ) ^ { 2 } + 1210 = 960 $。
答：当 $ x = 12 $ 时，这种纪念品的日销售利润最大，最大利润为 $ 960 $ 元。

答案： （1）由题意，日销售量 $y$ 与销售单价 $x$ 的关系为：
$y = 200 - 10(x - 8) = -10x + 280 \quad (6 \leq x \leq 12)$。
（2）设销售单价为 $x$ 元时，日销售利润为 720 元，则：
$(x - 6)(-10x + 280) = 720$，
$-10x^2 + 280x + 60x - 1680 = 720$，
$-10x^2 + 340x - 2400 = 0$，
$x^2 - 34x + 240 = 0$，
$(x - 10)(x - 24) = 0$，
解得 $x_1 = 10$，$x_2 = 24$（舍去，因为 $x \leq 12$）。
答：销售单价应定为 $10$ 元。
（3）日销售利润 $w$ 与销售单价 $x$ 的关系为：
$w = (x - 6)(-10x + 280) = -10x^2 + 340x - 1680 = -10(x - 17)^2 + 1210$，
由于 $-10 ＜ 0$，函数开口向下，对称轴为 $x = 17$。
在区间 $6 \leq x \leq 12$ 上，$w$ 随 $x$ 的增大而增大。
因此，当 $x = 12$ 时，$w$ 取得最大值：
$w_{ 最大} = -10(12 - 17)^2 + 1210 = -10 × 25 + 1210 = 960$，
答：当 $x = 12$ 时，日销售利润最大，最大利润为 $960$ 元。