《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

5. 如图 6，一小球从斜坡点 $ O $ 处抛出，球的运行路线是抛物线 $ y = 4x - \frac{1}{2}x^{2} $ 的一段，斜坡 $ OA $ 可以看成是直线 $ y = \frac{1}{2}x $ 的一段.则小球在斜坡上的落点 $ A $ 的垂直高度为$\frac{7}{2}$.

答案： 5.$\frac{7}{2}$ 提示：令 $-\frac{1}{2}x^{2} + 4x = \frac{1}{2}x$，解得 $x_{1} = 7$，$x_{2} = 0$。
把 $x = 7$ 代入 $y = \frac{1}{2}x$，得 $y = \frac{1}{2} × 7 = \frac{7}{2}$。故小球在斜坡上的落点 A 的垂直高度为 $\frac{7}{2}$。

6. (2024 广西中考)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1) 老师给出 $ a = -4 $，求二次函数 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $ 的最小值.
① 请你写出对应的函数表达式.
② 求当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 有最小值，并写出此时的 $ y $ 值.
【举一反三】老师给出更多 $ a $ 的值，同学们即求出对应的函数在 $ x $ 取何值时，$ y $ 的最小值.记录结果，并整理成下表：

注：$ * $ 为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了 $ a $ 值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值.”
乙同学：“我发现，$ y $ 的最小值随 $ a $ 值的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值.”
(2) 请结合函数表达式 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $，解释甲同学的说法是否合理？
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，则请求出此最大值；若不正确，则请说明理由.

答案： 6.解：
(1)①将 $a = -4$ 代入 $y = x^{2} + 2ax + a - 3$，得 $y = x^{2} + 2 × (-4)x + (-4) - 3 = x^{2} - 8x - 7$。所以 $y = x^{2} - 8x - 7$。 ②$y = x^{2} - 8x - 7 = (x - 4)^{2} - 23$，故当 $x = 4$ 时，$y$ 有最小值，最小值为 -23。
(2)$y = x^{2} + 2ax + a - 3 = (x + a)^{2} - a^{2} + a - 3$，关于 $x$ 的二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线 $x = -a$，所以当 $x = -a$ 时，$y$ 有最小值。故甲同学的说法是合理的。
(3)乙同学的猜想是正确的。由
(2) 可知，当 $x = -a$ 时，$y$ 有最小值，$y_{min} = -a^{2} + a - 3 = -(a - \frac{1}{2})^{2} - \frac{11}{4}$。由 $-(a - \frac{1}{2})^{2} \leq 0$，得 $-(a - \frac{1}{2})^{2} - \frac{11}{4} \leq -\frac{11}{4}$。所以 $y$ 的最小值中存在最大值，最大值为 $-\frac{11}{4}$。