《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

2. 如图 11，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $ 在 $ \odot O $ 上，$ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} $，$ \angle AOB = 36^{\circ} $，则 $ \angle CED $ 的度数为(C)。

A.$ 72^{\circ} $
B.$ 36^{\circ} $
C.$ 18^{\circ} $
D.$ 16^{\circ} $

答案： 2. C

3. (2022 山东日照中考)一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为制作同样大小的镜面，工人用直角尺作图 12 所示的测量，测得 $ AB = 12 cm $，$ BC = 5 cm $，则圆形镜面的半径为6.5 $ cm $。

答案： 3. 6.5

4. 如图 13，已知 $ \odot O $ 的直径 $ AB $ 的长为 2，弦 $ AC $ 的长为 $ \sqrt{2} $，那么弦 $ AC $ 所对的圆周角 $ \angle ADC $ 的度数为45°。

答案： 4. 45°

5. (2022 湖南怀化中考)如图 14，点 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 在 $ \odot O $ 上，$ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} $。
(1) 求证：$ AC = BD $。
(2) 求证：$ \triangle ABE \sim \triangle DCE $。

答案： 5. 证明：
(1)
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AC = BD.
∴AC = BD.
(2)
∵∠A = ∠D,∠B = ∠C,
∴△ABE∽△DCE.

6. 如图 15，已知 $ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $，$ \angle CAB = 30^{\circ} $，$ \angle CBA = 45^{\circ} $，$ CD \perp AB $ 于点 $ D $，$ \odot O $ 的半径为 2。求 $ CD $ 的长。

答案：
6. 解：如图85，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接BE，则CE是⊙O的直径.
∴∠E = ∠CAB = 30°,∠EBC = 90°.
∵⊙O的半径为2，
∴CE = 4.
∴BC = $\frac{1}{2}$CE = 2.
∵CD ⊥ AB，
∠CBA = 45°，
∴CD = BC·sin45° = $2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

7. 如图 16，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ C $ 为 $ \overset{\frown}{AE} $ 的中点，$ CD \perp AB $ 于点 $ D $，交 $ AE $ 于点 $ F $，连接 $ AC $。
(1) 求证：$ AF = CF $。
(2) 已知 $ \angle ACD = 25^{\circ} $，求 $ \angle BAE $ 的度数。

答案：
7.
(1)证明：如图86，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，即∠ACF + ∠BCD = 90°.
∵CD ⊥ AB，
∴∠B + ∠BCD = 90°.
∴∠ACF = ∠B.
∵C为$\overset{\frown}{AE}$的中点，
∴AC = CE.
∴∠B = ∠CAE.
∴∠ACF = ∠CAE.
∴AF = CF.
(2)解：如图86，连接OC，OE.由
(1)得∠B = ∠ACD.又∠ACD = 25°，
∴∠B = 25°.
∵OB = OC，
∴∠OCB = ∠B = 25°.
∵AC = CE，
∴∠COE = ∠AOC = 2∠B = 50°.
∴∠BOE = 180° - 50° - 50° = 80°.
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BOE = $\frac{1}{2}×80° = 40°$.