《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

4. （教材第 4 页习题 21.1 第 2 题变式）一个圆的半径为 $ 4 $，若半径增加 $ r $，则这个圆的面积增加 $ y $。求 $ y $ 与 $ r $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ r $ 的取值范围。

答案： 4.解：由题意，得$y = \pi(4 + r)^{2}-4^{2}\pi，$即$y = \pi r^{2}+8\pi r.$自变量r的取值范围是$r\geqslant0.$

1. 下列函数属于二次函数的是(C)。

A.$ y = -\frac{1}{x^2} $
B.$ y = 3x^3 - 2x^2 $
C.$ y = 2x^2 - 2 $
D.$ y = (x + 1)^2 - x^2 $

答案： 1.C

2. 一个直角三角形的两条直角边的长的和为 $ 20 \, cm $，其中一条直角边的长为 $ x \, cm $，面积为 $ y \, cm^2 $，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式为(B)。

A.$ y = x(10 - x) $
B.$ y = \frac{1}{2}x(20 - x) $
C.$ y = x(20 - x) $
D.$ y = \frac{1}{2}x(10 - x) $

答案： 2.B

3. 若 $ y = 2x^{a + 1} + 2x - 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ a $ 的值为1。

答案： 3.1

4. 6 月份，某工厂新能源汽车的产量是 $ 10 $ 万辆，7 月份和 8 月份产量增加。若该工厂新能源汽车产量的月平均增长率为 $ x $，则 8 月份该工厂新能源汽车的产量 $ y $(万辆)与 $ x $ 之间的函数表达式为$y = 10(1 + x)^{2} $或$y = 10x^{2}+20x + 10$。

答案： $4.y = 10(1 + x)^{2} $或$y = 10x^{2}+20x + 10$

5. 如图 2，靠墙（墙长为 $ 20 \, m $）围建一个矩形的养鸡场，另外三边是由总长为 $ 50 \, m $ 的竹篱笆围成的。设养鸡场垂直于墙的一边的长为 $ x \, ( m) $，求养鸡场的面积 $ y \, ( m^2) $ 与 $ x \, ( m) $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。

答案： 5.解：由题意，得y = x(50 - 2x)，即$y = -2x^{2}+50x.$因为墙长为20m，所以$50 - 2x\leqslant20.$解得$x\geqslant15.$又50 - 2x＞0，所以x＜25.故自变量x的取值范围是$15\leqslantx＜25.$

6. 若函数 $ y = mx^{m^2 + m + 2} + 4 $ 是关于 $ x $ 的二次函数，则 $ m $ 的值为(C)。

A.$ 0 $ 或 $ -1 $
B.$ 0 $ 或 $ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $

答案： 6.C 提示：由二次函数的定义，得$m^{2}+m + 2 = 2，$且$m\neq0.$故m = -1.

7. （教材第 4 页习题 21.1 第 5 题变式）如图 3，在一块长为 $ 18 \, m $、宽为 $ 10 \, m $ 的矩形空地 $ ABCD $ 上，修建 3 条宽均为 $ x \, m $ 的矩形小路（阴影部分），其余部分铺设草皮，草皮的面积为 $ y \, m^2 $。求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围。

答案： 7.解：由题意，得y = (18 - 2x)(10 - x)，即$y = 2x^{2}-38x + 180.$因为x＞0，18 - 2x＞0，10 - x＞0，所以自变量x的取值范围是0＜x＜9.