《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

3. 已知 $\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$BC = 6$ cm，$EF = 9$ cm.
(1) 若 $AM$ 是 $\triangle ABC$ 的一条中线，$AM = 2$ cm，则 $\triangle DEF$ 中对应中线 $DN$ 的长为3 cm.
(2) 若 $AP$ 是 $\triangle ABC$ 的一条角平分线，$AP = 2.4$ cm，则 $\triangle DEF$ 中对应角平分线 $DG$ 的长为3.6 cm.

答案： 3.
(1)3　
(2)3.6

4. 如图 6，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸每隔 $5$ m 有一棵树，在北岸每隔 $50$ m 有一根电线杆. 小丽站在离南岸 $15$ m 的点 $P$ 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为22.5 m.

答案： 4.22.5

5. 如图 7，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAD = \angle C$，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$AF \perp BC$ 于点 $F$，$AF = 4$ cm，$DE = 3$ cm.
(1) 求证：$\triangle ABC \backsim \triangle DBA$.
(2) 已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $32$ cm，求 $\triangle DBA$ 的周长.

答案： 5.
(1)证明:
∵ ∠BAD = ∠C,∠B = ∠B,
∴ △ABC∽△DBA.　
(2)解:
∵ △ABC∽△DBA,DE⊥AB,AF⊥BC,
∴ $\frac{AB}{DB}=\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{BA}=\frac{AF}{DE}=\frac{4}{3}$.
∴ $\frac{AB + AC + BC}{DB + DA + BA}=\frac{4}{3}$,即$\frac{32}{\triangle DBA 的周长}=\frac{4}{3}$.
∴ △DBA的周长为24cm.

6. 如图 8，在 $\triangle ABC$ 中，$DE // BC$，$GF // AC$，$GF$ 与 $DE$ 相交于点 $M$，$DM:BF = 2:3$，$GF:AC = 3:4$. 若 $\triangle DGM$ 的面积为 $a$，则四边形 $AGFC$ 的面积为$\frac{7}{4}a$.(用含 $a$ 的代数式表示)

答案： 6.$\frac{7}{4}a$　提示:由DE//BC,得△DGM∽△BGF.又DM:BF = 2:3,则$S_{\triangle BGF}=\frac{9}{4}a$.由GF//AC,得△BGF∽△BAC.又GF:AC = 3:4,则$S_{\triangle BAC}=4a$.故$S_{四边形AGFC}=S_{\triangle BAC}-S_{\triangle BGF}=\frac{7}{4}a$.

7. 如图 9，$\triangle ABC$ 是一块锐角三角形余料，边 $BC = 120$ mm，高 $AD = 80$ mm. 把它加工成正方形零件 $PQMN$，使正方形的一边 $MN$ 在 $BC$ 上，其余两个顶点 $P$，$Q$ 分别在 $AB$，$AC$ 上. 求这个正方形零件的边长.

答案： 7.解:设AD交PQ于点E,正方形零件的边长为kmm.则PQ = PN = ED = kmm,AE = (80 - k)mm.
∵ 正方形PQMN的MN边在BC上，
∴ PQ//BC.
∴ △APQ∽△ABC.
∴ $\frac{PQ}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即$\frac{k}{120}=\frac{80 - k}{80}$.解得k = 48.答:这个正方形零件的边长为48mm.