《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

例1
如图4,已知一次函数y=2x-6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A,C,对称轴为直线l,顶点为D.这条抛物线与x轴的另一个交点为B(1,0).

(1)求二次函数的表达式、顶点D的坐标及对称轴l.
(2)在y轴上是否存在点P,使△PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标及△PBD周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)若点H是抛物线上位于线段AC上方的一点,过点H作y轴的平行线,交AC于点K,求线段HK的最大值及此时点H的坐标.
思路点拨

(1)
$y = 2x - 6$
$\begin{cases}令y = 0 \to 点A 的坐标 \\令x = 0 \to 点C 的坐标\end{cases}$
$ 代入 \to y = ax^2 + bx + c$
(2)
$ 设B' 与B 关于y 轴对称 \to 直线B'D 交y 轴于点P \to PB = PB' \to \triangle PBD 周长的最小值为BD + B'D$
(3)
$\begin{cases}点H 在抛物线上 \\点K 在直线AC 上\end{cases}$
$\to 设H(n, an^2 + bn + c), 则K(n, 2n - 6) \to HK = an^2 + bn + c - (2n - 6)$
解
(1)在y=2x-6中,当x=0时,y=-6,当y=0时,x=3.
∴A(3,0),C(0,-6).
把A(3,0),C(0,-6),B(1,0)代入y=ax²+bx+c,得
$\begin{cases}9a + 3b + c = 0, \\c = -6, \\a + b + c = 0.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = -2, \\b = 8, \\c = -6.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为y=-2x²+8x-6.
∵y=-2x²+8x-6=-2(x-2)²+2,
∴D(2,2),对称轴l为直线x=2.
(2)如图5,作点B关于y轴的对称点B'(-1,0),连接B'D交y轴于点P,此时PB+PD=PB'+PD=B'D,其值最小,则△PBD的周长最小.
设直线B'D的函数表达式为y=kx+d.
把B'(-1,0),D(2,2)代入,得
$\begin{cases}-k + d = 0, \\2k + d = 2.\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = \frac{2}{3}, \\d = \frac{2}{3}.\end{cases}$
∴直线B'D的函数表达式为y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}.
在y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}中,当x=0时,y=\frac{2}{3}.
∴点P的坐标为(0,\frac{2}{3}).
∵B(1,0),D(2,2),
∴BD=\sqrt{(2 - 1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}.
又PB+PD=B'D=\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13},
∴△PBD周长的最小值为\sqrt{5} + \sqrt{13}.
(3)如图6,设点H的坐标为(n,-2n²+8n-6),则点K的坐标为(n,2n-6).
∴HK=-2n²+8n-6-(2n-6)=-2n²+6n=-2(n-\frac{3}{2})²+\frac{9}{2}.
又0 ＜ n ＜ 3,
∴当n=\frac{3}{2}时,线段HK取最大值,最大值为\frac{9}{2},此时点H的坐标为(\frac{3}{2},\frac{3}{2}).

答案：
(1)在$y=2x-6$中，令$y=0$得$x=3$，令$x=0$得$y=-6$，$\therefore A(3,0)$，$C(0,-6)$．
将$A(3,0)$，$B(1,0)$，$C(0,-6)$代入$y=ax^2+bx+c$，得
$\begin{cases}9a+3b+c=0,\\c=-6,\\a+b+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=8,\\c=-6.\end{cases}$
$\therefore$二次函数表达式为$y=-2x^2+8x-6$．
$\because y=-2(x-2)^2+2$，$\therefore D(2,2)$，对称轴$l$为直线$x=2$．
(2)作点$B$关于$y$轴的对称点$B'(-1,0)$，连接$B'D$交$y$轴于点$P$．
设直线$B'D$的表达式为$y=kx+d$，代入$B'(-1,0)$，$D(2,2)$，得
$\begin{cases}-k+d=0,\\2k+d=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{2}{3},\\d=\frac{2}{3}.\end{cases}$
$\therefore$直线$B'D$：$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$．令$x=0$，得$y=\frac{2}{3}$，$\therefore P(0,\frac{2}{3})$．
$\because BD=\sqrt{(2-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$B'D=\sqrt{(2+1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13}$，
$\therefore\triangle PBD$周长的最小值为$\sqrt{5}+\sqrt{13}$．
(3)设$H(n,-2n^2+8n-6)$，则$K(n,2n-6)$．
$HK=-2n^2+8n-6-(2n-6)=-2n^2+6n=-2(n-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}$．
$\because0＜n＜3$，$\therefore$当$n=\frac{3}{2}$时，$HK$最大值为$\frac{9}{2}$，此时$H(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$．