《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

二次函数
- 图象：二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 可以通过配方的方法变为 $ y = a(x + $-h$)^{2} + $k$ $；它的图象是以( $- \frac{b}{2a}$ ， $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$ )为顶点，以直线 $ x = $$- \frac{b}{2a}$$ $ 为对称轴的抛物线。
顶点式 $ y = a(x + h)^{2} + k $：顶点坐标是 (-h,k) ，对称轴是直线 x=-h 。
一般式 $ y = ax^{2} + bx + c $：顶点坐标是 $\left( - \frac{b}{2a},\ \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right)$ ，对称轴是直线 $x = - \frac{b}{2a}$ 。
- 性质
- 表达式的确定
方法：先选择合适的表达式形式，再用待定系数法求解。
三种表达式的选择：(1)顶点式；(2)一般式；(3)交点式。
- 与一元二次方程的关系
二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点的 横坐标 就是一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的解。
二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象与 $ x $ 轴的交点的个数取决于 $\Delta$ 的值：当 $ \Delta $＞0$ $ 时，图象与 $ x $ 轴有两个交点；当 $ \Delta $=0$ $ 时，图象与 $ x $ 轴只有一个交点；当 $ \Delta $＜0$ $ 时，图象与 $ x $ 轴没有交点。
- 应用：与几何图形面积有关的最优化问题、与价格或利润有关的最优化问题、建筑问题、给定二次函数表达式的应用问题等。
反比例函数
- 图象：反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $( $ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $ )的图象是 双曲线 ，且关于原点成 中心 对称图形。
- 性质：当 $ k ＞ 0 $ 时，函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象分布在第 一、三 象限，在每个象限内， $ y $ 随 $ x $ 的增大而 减小 ；当 $ k ＜ 0 $ 时，函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象分布在第 二、四 象限，在每个象限内， $ y $ 随 $ x $ 的增大而 增大 。

答案： $(-\ h,k)$ $x = -h$ $\left( - \frac{b}{2a},\ \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right)$ $\left( - \frac{b}{2a},\ \frac{4ac - b^{2}}{4a} \right)$ $x = - \frac{b}{2a}$ $y$ 上 下 $x$ 左右 横坐标 $\Delta = b^{2} - 4ac ＞ 0$ $= 0$ $＜ 0$ 双曲线 中心 一、三 减小 二、四 增大