《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 如图7，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 2，AB = 6，则cos B的值是(B)。

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.3

答案： 1.B

2. 如图8，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是(C)。

A.sin B = $\frac{AD}{AB}$
B.sin B = $\frac{AC}{BC}$
C.sin B = $\frac{AD}{AC}$
D.sin B = $\frac{CD}{AC}$

答案： 2.C

3. (教材第115页例3变式)如图9，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m，2)，sin α = $\frac{1}{2}$，则m的值为(B)。

A.4
B.2$\sqrt{3}$
C.6
D.$\sqrt{3}$

答案： 3.B 提示：过点A作AB⊥x轴，则$AB=2$,$\sin\alpha=\frac{AB}{OA}=\frac{1}{2}$,所以$OA=4$.由勾股定理，得$OB=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$.

4. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 4，若cos A = $\frac{2}{5}$，则AB = 10。

答案： 4.10

5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若AC = 2BC，则tan B = 2，sin B = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

答案： 5.2$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 提示：设$BC=x$,则$AC=2x$,由勾股定理，得$AB=\sqrt{5}x$.故$\tan B=\frac{AC}{BC}=2$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6. 如图10，在△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，求∠B的正弦值、余弦值和正切值。

答案： 6.解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵ AB=AC，
∴ $BD=CD=\frac{1}{2}BC=5$.在Rt△ABD中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$.
∴ $\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{12}{13}$,$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{5}{13}$,$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{12}{5}$.

7. 如图11，A，B，C均是网格图中小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，则cos ∠BAC = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： 7.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 提示：连接BC，由勾股定理，得$BC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$,$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.则$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$.由勾股定理的逆定理可知，△ACB为直角三角形，∠ACB=90°.所以$\cos\angle BAC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8. 如图12，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D为BC边上的点（不与B，C两点重合），设∠ADC = α，∠B = β。
（1）猜想sin α与sin β的大小关系。
（2）证明你的结论。
（3）猜想锐角α，β的大小关系与它们正弦值的大小关系之间的规律。

答案： 8.
(1) 解：$\sin\alpha＞\sin\beta$.
(2) 证明：
∵ $\sin\alpha=\frac{AC}{AD}$,
$\sin\beta=\frac{AC}{AB}$,又$AD＜AB$,
∴ $\frac{AC}{AD}＞\frac{AC}{AB}$.
∴ $\sin\alpha＞\sin\beta$.
(3) 解：若α,β均为锐角，则当α＞β时，$\sin\alpha＞\sin\beta$;当α=β
时，$\sin\alpha=\sin\beta$;当α＜β时，$\sin\alpha＜\sin\beta$.