《2025年新课程学习与测评同步学习九年级数学全一册沪科版》

1. 图 9 是一座拱桥的示意图，已知桥洞的拱形是抛物线形，当水面宽 $ AB $ 为 $ 12m $ 时，桥洞顶部离水面 $ 4m $。以水平方向($ AB $ 所在直线)为 $ x $ 轴，建立平面直角坐标系，当选取点 $ A $ 为坐标原点时，抛物线对应的函数表达式是 $ y = -\frac{1}{9}(x - 6)^2 + 4 $。若选取点 $ B $ 为坐标原点，则抛物线对应的函数表达式是(B)。

A.$ y = \frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4 $
B.$ y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 + 4 $
C.$ y = \frac{1}{9}(x + 6)^2 - 4 $
D.$ y = -\frac{1}{9}(x + 6)^2 - 4 $

答案： 1.B

2. 某景点的“喷水巨龙”口中 $ C $ 处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度 $ y(m) $ 与水平距离 $ x(m) $ 之间的关系如图 10 所示，$ D $ 为该水流的最高点，$ DA⊥OB $，垂足为 $ A $。已知 $ OC = OB = 8m $，$ OA = 2m $，该水流距水平面的最大高度 $ AD $ 的长为(A)。

A.$ 9m $
B.$ 10m $
C.$ 11m $
D.$ 12m $

答案： 2.A　提示:设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 2)^2 + k$，把$C(0,8)$，$B(8,0)$代入，可解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{4}\\k = 9\end{cases}$.故抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{1}{4}(x - 2)^2 + 9$.当$x = 2$时，$y = 9$.

3. (2024 广西中考) 如图 11，壮壮同学投掷实心球，出手(点 $ P $ 处)的高度 $ OP $ 是 $ \frac{7}{4}m $，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 $ 5m $，高度是 $ 4m $。若实心球落地点为 $ M $，则 $ OM = $$\frac{35}{3}$ $ m $。

答案： 3.$\frac{35}{3}$　提示:以点$O$为坐标原点，射线$OM$为$x$轴正半轴，射线$OP$为$y$轴正半轴建立平面直角坐标系.由题意，可设抛物线对应的函数表达式为$y = a(x - 5)^2 + 4$，把点$P(0,\frac{7}{4})$代入，解得$a = - \frac{9}{100}$.所以抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4$.令$y = 0$，得$- \frac{9}{100}(x - 5)^2 + 4 = 0$.解得$x_1 = \frac{35}{3}$，$x_2 = - \frac{5}{3}$(舍去).所以$OM = \frac{35}{3}$m.

4. 某菜农搭建了一个横截面轮廓为抛物线的大棚，具体数据如图 12，将此抛物线的示意图放在图 12 所示的平面直角坐标系中，则此抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{4}{15}x^2 + 2.4$；已知菜农的身高为 $ 1.8m $，他在不弯腰的情况下，在大棚内横向活动的范围是3m。

答案： 4.$y = - \frac{4}{15}x^2 + 2.4$　3　提示:由抛物线经过点$(0,2.4)$，$(3,0)$，可求得抛物线对应的函数表达式为$y = - \frac{4}{15}x^2 + 2.4$.令$y = 1.8$，则$1.8 = - \frac{4}{15}x^2 + 2.4$，解得$x = \pm\frac{3}{2}$.故他在不弯腰的情况下，在大棚内横向活动的范围是$3$m.

5. 图 13 是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为 $ 10m $（即 $ HF = FG = GM = MP = 10m $），拱桥顶点 $ D $ 到桥面的距离 $ DG = 2m $。将其置于如图 14 的平面直角坐标系中，桥拱抛物线对应的函数表达式为 $ y = ax^2 + 6 $。
(1) 求 $ a $ 的值。
(2) 求支柱 $ EF $ 的高。

答案： 5.解:
(1)根据题意可知，$OA = HF + FG = 20$m，则点$A$的坐标为$(-20,0)$.把$A(-20,0)$代入$y = ax^2 + 6$，得$400a + 6 = 0$.解得$a = - \frac{3}{200}$.
(2)令$x = 0$，得$y = 6$，$\therefore OD = 6$m.又$DG = 2$m，$\therefore OG = OD + DG = 8$m.
$\because FG = 10$m，$\therefore$点$F$的坐标为$(-10,8)$.把$x = -10$代入$y = - \frac{3}{200}x^2 + 6$，得$y = - \frac{3}{200} × (-10)^2 + 6 = \frac{9}{2}$，$\therefore$点$E$的坐标为$(-10,\frac{9}{2})$，$\therefore EF = 8 - \frac{9}{2} = \frac{7}{2}$(m).